Таблица 8
Задача 1
Найти \(x\).Дан треугольник \(MKN\). Известны стороны \(MK = 16\), \(KN = 18\) и угол между ними \(\angle K = 130^\circ\). Нужно найти сторону \(MN = x\).
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов.
Теорема косинусов гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В нашем случае:
\[MN^2 = MK^2 + KN^2 - 2 \cdot MK \cdot KN \cdot \cos(\angle K)\]Подставляем известные значения:
\[x^2 = 16^2 + 18^2 - 2 \cdot 16 \cdot 18 \cdot \cos(130^\circ)\]Вычисляем квадраты:
\[16^2 = 256\] \[18^2 = 324\]Находим косинус \(130^\circ\). Мы знаем, что \(\cos(130^\circ) = \cos(180^\circ - 50^\circ) = -\cos(50^\circ)\).
Приближенное значение \(\cos(50^\circ) \approx 0.6428\).
Значит, \(\cos(130^\circ) \approx -0.6428\).
Подставляем значения в формулу:
\[x^2 = 256 + 324 - 2 \cdot 16 \cdot 18 \cdot (-0.6428)\] \[x^2 = 580 - 576 \cdot (-0.6428)\] \[x^2 = 580 + 576 \cdot 0.6428\] \[x^2 = 580 + 370.2768\] \[x^2 = 950.2768\]Теперь найдем \(x\), извлекая квадратный корень:
\[x = \sqrt{950.2768}\] \[x \approx 30.826\]Округлим до одного знака после запятой:
\[x \approx 30.8\]Ответ:
\[x \approx 30.8\]Задача 2
Найти \(x\).Дан треугольник \(RST\). Известны все три стороны: \(RS = 4\), \(RT = 7\), \(ST = 10\). Нужно найти угол \(x\), который является углом \(\angle R\).
Для решения этой задачи также воспользуемся теоремой косинусов. Выразим косинус угла \(\angle R\):
\[ST^2 = RS^2 + RT^2 - 2 \cdot RS \cdot RT \cdot \cos(\angle R)\]Перегруппируем формулу, чтобы найти \(\cos(\angle R)\):
\[2 \cdot RS \cdot RT \cdot \cos(\angle R) = RS^2 + RT^2 - ST^2\] \[\cos(\angle R) = \frac{RS^2 + RT^2 - ST^2}{2 \cdot RS \cdot RT}\]Подставляем известные значения:
\[\cos(x) = \frac{4^2 + 7^2 - 10^2}{2 \cdot 4 \cdot 7}\]Вычисляем квадраты:
\[4^2 = 16\] \[7^2 = 49\] \[10^2 = 100\]Подставляем значения в формулу:
\[\cos(x) = \frac{16 + 49 - 100}{2 \cdot 4 \cdot 7}\] \[\cos(x) = \frac{65 - 100}{56}\] \[\cos(x) = \frac{-35}{56}\]Сокращаем дробь на 7:
\[\cos(x) = -\frac{5}{8}\] \[\cos(x) = -0.625\]Теперь найдем угол \(x\), используя арккосинус:
\[x = \arccos(-0.625)\] \[x \approx 128.68^\circ\]Округлим до одного знака после запятой:
\[x \approx 128.7^\circ\]Ответ:
\[x \approx 128.7^\circ\]Задача 3
Найти \(x\).Дан треугольник \(ABC\). Известны стороны \(AB = \sqrt{8}\), \(AC = 5\) и угол \(\angle A = 45^\circ\). Нужно найти сторону \(BC = x\).
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов.
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)\]Подставляем известные значения:
\[x^2 = (\sqrt{8})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{8} \cdot 5 \cdot \cos(45^\circ)\]Вычисляем квадраты:
\[(\sqrt{8})^2 = 8\] \[5^2 = 25\]Находим \(\cos(45^\circ)\):
\[\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]Подставляем значения в формулу:
\[x^2 = 8 + 25 - 2 \cdot \sqrt{8} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[x^2 = 33 - 10 \cdot \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]Упростим \(\sqrt{8}\):
\[\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\]Подставляем это значение:
\[x^2 = 33 - 10 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[x^2 = 33 - 10 \cdot \frac{2 \cdot (\sqrt{2})^2}{2}\] \[x^2 = 33 - 10 \cdot \frac{2 \cdot 2}{2}\] \[x^2 = 33 - 10 \cdot \frac{4}{2}\] \[x^2 = 33 - 10 \cdot 2\] \[x^2 = 33 - 20\] \[x^2 = 13\]Теперь найдем \(x\), извлекая квадратный корень:
\[x = \sqrt{13}\] \[x \approx 3.606\]Округлим до одного знака после запятой:
\[x \approx 3.6\]Ответ:
\[x = \sqrt{13} \approx 3.6\]Задача 4
Найти \(x\).Дан круг с центром \(O\). Известны хорды \(RE = 10\), \(RF = 7\), \(EF = 5\). Нужно найти угол \(x\), который является углом \(\angle EOF\).
Сначала найдем радиус окружности. Для этого рассмотрим треугольник \(REF\). Мы можем найти косинус угла \(\angle R\) в этом треугольнике, используя теорему косинусов:
\[EF^2 = RE^2 + RF^2 - 2 \cdot RE \cdot RF \cdot \cos(\angle R)\] \[5^2 = 10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos(\angle R)\] \[25 = 100 + 49 - 140 \cdot \cos(\angle R)\] \[25 = 149 - 140 \cdot \cos(\angle R)\] \[140 \cdot \cos(\angle R) = 149 - 25\] \[140 \cdot \cos(\angle R) = 124\] \[\cos(\angle R) = \frac{124}{140} = \frac{31}{35}\]Теперь, зная \(\cos(\angle R)\), мы можем найти \(\sin(\angle R)\) с помощью основного тригонометрического тождества:
\[\sin^2(\angle R) + \cos^2(\angle R) = 1\] \[\sin^2(\angle R) = 1 - \left(\frac{31}{35}\right)^2\] \[\sin^2(\angle R) = 1 - \frac{961}{1225}\] \[\sin^2(\angle R) = \frac{1225 - 961}{1225}\] \[\sin^2(\angle R) = \frac{264}{1225}\] \[\sin(\angle R) = \sqrt{\frac{264}{1225}} = \frac{\sqrt{264}}{35} = \frac{\sqrt{4 \cdot 66}}{35} = \frac{2\sqrt{66}}{35}\]Теперь найдем радиус \(R\) описанной окружности для треугольника \(REF\) по формуле:
\[R = \frac{EF}{2 \sin(\angle R)}\] \[R = \frac{5}{2 \cdot \frac{2\sqrt{66}}{35}}\] \[R = \frac{5}{\frac{4\sqrt{66}}{35}}\] \[R = \frac{5 \cdot 35}{4\sqrt{66}}\] \[R = \frac{175}{4\sqrt{66}}\]Теперь рассмотрим треугольник \(EOF\). Это равнобедренный треугольник, так как \(OE = OF = R\) (радиусы окружности). Известна сторона \(EF = 5\).
Мы хотим найти угол \(x = \angle EOF\). Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника \(EOF\):
\[EF^2 = OE^2 + OF^2 - 2 \cdot OE \cdot OF \cdot \cos(\angle EOF)\] \[5^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(x)\] \[25 = 2R^2 - 2R^2 \cos(x)\] \[25 = 2R^2 (1 - \cos(x))\]Подставим значение \(R^2\):
\[R^2 = \left(\frac{175}{4\sqrt{66}}\right)^2 = \frac{175^2}{16 \cdot 66} = \frac{30625}{1056}\]Теперь подставим \(R^2\) в уравнение:
\[25 = 2 \cdot \frac{30625}{1056} (1 - \cos(x))\] \[25 = \frac{30625}{528} (1 - \cos(x))\] \[1 - \cos(x) = \frac{25 \cdot 528}{30625}\] \[1 - \cos(x) = \frac{13200}{30625}\]Сократим дробь. Оба числа делятся на 25:
\[13200 \div 25 = 528\] \[30625 \div 25 = 1225\] \[1 - \cos(x) = \frac{528}{1225}\] \[\cos(x) = 1 - \frac{528}{1225}\] \[\cos(x) = \frac{1225 - 528}{1225}\] \[\cos(x) = \frac{697}{1225}\]Теперь найдем угол \(x\):
\[x = \arccos\left(\frac{697}{1225}\right)\] \[x \approx \arccos(0.569)\] \[x \approx 55.3^\circ\]Ответ:
\[x \approx 55.3^\circ\]Продолжение табл. 8
Задача 5
Найти \(x, y\).Дан треугольник \(QMN\). Известна сторона \(QN = 12\). Проведена высота \(MK\) к стороне \(QN\). \(MK = 6\). \(MN = 10\). Нужно найти \(QK = x\) и \(KN = y\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MKN\). В нем \(MK = 6\), \(MN = 10\). По теореме Пифагора:
\[MK^2 + KN^2 = MN^2\] \[6^2 + y^2 = 10^2\] \[36 + y^2 = 100\] \[y^2 = 100 - 36\] \[y^2 = 64\] \[y = \sqrt{64}\] \[y = 8\]Теперь найдем \(x\). Мы знаем, что \(QN = QK + KN\).
\[12 = x + y\] \[12 = x + 8\] \[x = 12 - 8\] \[x = 4\]Ответ:
\[x = 4\] \[y = 8\]Задача 6
Найти \(x\).Дан параллелограмм \(ABCD\). Известны стороны \(AB = 6\), \(BC = 9\) и угол \(\angle A = 60^\circ\). Нужно найти диагональ \(BD = x\).
В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \(AD = BC = 9\). Рассмотрим треугольник \(ABD\). Известны стороны \(AB = 6\), \(AD = 9\) и угол \(\angle A = 60^\circ\).
Для нахождения стороны \(BD\) воспользуемся теоремой косинусов:
\[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)\]Подставляем известные значения:
\[x^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos(60^\circ)\]Вычисляем квадраты:
\[6^2 = 36\] \[9^2 = 81\]Находим \(\cos(60^\circ)\):
\[\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\]Подставляем значения в формулу:
\[x^2 = 36 + 81 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2}\] \[x^2 = 117 - 54\] \[x^2 = 63\]Теперь найдем \(x\), извлекая квадратный корень:
\[x = \sqrt{63}\] \[x = \sqrt{9 \cdot 7}\] \[x = 3\sqrt{7}\] \[x \approx 3 \cdot 2.646\] \[x \approx 7.938\]Округлим до одного знака после запятой:
\[x \approx 7.9\]Ответ:
\[x = 3\sqrt{7} \approx 7.9\]Задача 7
Найти \(x, y\).Дан параллелограмм \(ABCD\). Известны диагонали \(AC = 8\), \(BD = 6\). Диагонали пересекаются в точке \(O\). Угол \(\angle AOB = 70^\circ\). Нужно найти стороны \(AB = x\) и \(BC = y\).