Решение дифференциального уравнения y'' + y = 0

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение второго порядка: \[ y'' + y = 0 \] с начальными условиями: \[ y(0) = 0, \quad y'(0) = 2 \] Требуется найти значение \( y(\frac{\pi}{4}) \). 1. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: \[ k^2 + 1 = 0 \] \[ k^2 = -1 \] Корни уравнения являются чисто мнимыми: \[ k_{1,2} = \pm i \] 2. Общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \] 3. Используем начальные условия для нахождения констант \( C_1 \) и \( C_2 \). Подставим \( y(0) = 0 \): \[ 0 = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) \] Так как \( \cos(0) = 1 \), а \( \sin(0) = 0 \), получаем: \[ C_1 = 0 \] Теперь найдем производную общего решения: \[ y'(x) = -C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) \] Подставим \( y'(0) = 2 \): \[ 2 = -C_1 \sin(0) + C_2 \cos(0) \] \[ 2 = 0 + C_2 \cdot 1 \implies C_2 = 2 \] 4. Таким образом, частное решение уравнения имеет вид: \[ y(x) = 2 \sin(x) \] 5. Вычислим значение функции в точке \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ y(\frac{\pi}{4}) = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) \] Известно, что \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), следовательно: \[ y(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] 6. Переведем результат в десятичный вид и округлим до сотых: \[ \sqrt{2} \approx 1.4142... \] Округляя до сотых, получаем 1.41. Ответ: 1.41