Решение Дифференциального Уравнения √1 + y² dx = x y dy, y(1) = 0

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: \[ \sqrt{1 + y^2} dx = x y dy \] Начальное условие: \( y(1) = 0 \). Требуется найти \( y(2) \). 1. Разделим переменные. Для этого перенесем все члены с \( x \) в одну сторону, а с \( y \) — в другую: \[ \frac{dx}{x} = \frac{y dy}{\sqrt{1 + y^2}} \] 2. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dx}{x} = \int \frac{y dy}{\sqrt{1 + y^2}} \] Левая часть: \[ \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C \] Правая часть (используем замену \( u = 1 + y^2 \), тогда \( du = 2y dy \), откуда \( y dy = \frac{1}{2} du \)): \[ \int \frac{y dy}{\sqrt{1 + y^2}} = \int \frac{\frac{1}{2} du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = \sqrt{1 + y^2} \] Получаем общее решение в неявном виде: \[ \ln|x| + C = \sqrt{1 + y^2} \] 3. Найдем константу \( C \), используя начальное условие \( y(1) = 0 \): \[ \ln|1| + C = \sqrt{1 + 0^2} \] \[ 0 + C = 1 \implies C = 1 \] Таким образом, частное решение имеет вид: \[ \ln|x| + 1 = \sqrt{1 + y^2} \] 4. Вычислим значение \( y(2) \). Подставим \( x = 2 \) в уравнение: \[ \ln(2) + 1 = \sqrt{1 + y^2} \] Возведем обе части в квадрат: \[ (\ln(2) + 1)^2 = 1 + y^2 \] \[ y^2 = (\ln(2) + 1)^2 - 1 \] \[ y = \sqrt{(\ln(2) + 1)^2 - 1} \] 5. Произведем вычисления: \( \ln(2) \approx 0.6931 \) \( \ln(2) + 1 \approx 1.6931 \) \( (\ln(2) + 1)^2 \approx 2.8666 \) \( y^2 \approx 2.8666 - 1 = 1.8666 \) \( y = \sqrt{1.8666} \approx 1.366 \) Округляя до сотых, получаем: \( y(2) \approx 1.37 \) Ответ: 1.37