Решение дифференциального уравнения y'' = 4cos(x) + 6x с начальными условиями

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение второго порядка: \[ y'' = 4 \cos x + 6x \] Начальные условия: \( y(0) = 0 \), \( y'(0) = 1 \). Требуется найти значение \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) \). 1. Найдем первую производную \( y' \), проинтегрировав обе части уравнения по \( x \): \[ y' = \int (4 \cos x + 6x) dx \] \[ y' = 4 \sin x + \frac{6x^2}{2} + C_1 \] \[ y' = 4 \sin x + 3x^2 + C_1 \] 2. Используем начальное условие \( y'(0) = 1 \), чтобы найти \( C_1 \): \[ 1 = 4 \sin(0) + 3(0)^2 + C_1 \] \[ 1 = 0 + 0 + C_1 \implies C_1 = 1 \] Следовательно: \[ y' = 4 \sin x + 3x^2 + 1 \] 3. Найдем функцию \( y \), проинтегрировав полученное выражение еще раз: \[ y = \int (4 \sin x + 3x^2 + 1) dx \] \[ y = -4 \cos x + \frac{3x^3}{3} + x + C_2 \] \[ y = -4 \cos x + x^3 + x + C_2 \] 4. Используем начальное условие \( y(0) = 0 \), чтобы найти \( C_2 \): \[ 0 = -4 \cos(0) + 0^3 + 0 + C_2 \] Так как \( \cos(0) = 1 \): \[ 0 = -4 + C_2 \implies C_2 = 4 \] Частное решение уравнения: \[ y = -4 \cos x + x^3 + x + 4 \] 5. Вычислим значение \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) \): \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{2}\right)^3 + \frac{\pi}{2} + 4 \] Так как \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \): \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + \frac{\pi^3}{8} + \frac{\pi}{2} + 4 \] 6. Произведем численный расчет (принимая \( \pi \approx 3.14159 \)): \[ \pi^3 \approx 31.0063 \] \[ \frac{\pi^3}{8} \approx 3.8758 \] \[ \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \] \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 3.8758 + 1.5708 + 4 = 9.4466 \] Округляя до сотых, получаем: \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 9.45 \) Ответ: 9.45