Решение дифференциального уравнения y'' = 2sin(x) + 3x^2

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение второго порядка: \[ y'' = 2 \sin x + 3x^2 \] с начальными условиями: \[ y(0) = 1, \quad y'(0) = 2 \] Требуется найти значение \( y(1) \). 1. Найдем первую производную \( y' \), проинтегрировав обе части уравнения: \[ y' = \int (2 \sin x + 3x^2) dx \] \[ y' = -2 \cos x + \frac{3x^3}{3} + C_1 \] \[ y' = -2 \cos x + x^3 + C_1 \] 2. Используем начальное условие \( y'(0) = 2 \), чтобы найти \( C_1 \): \[ 2 = -2 \cos(0) + 0^3 + C_1 \] Так как \( \cos(0) = 1 \): \[ 2 = -2 + C_1 \implies C_1 = 4 \] Таким образом: \[ y' = -2 \cos x + x^3 + 4 \] 3. Найдем функцию \( y \), проинтегрировав \( y' \): \[ y = \int (-2 \cos x + x^3 + 4) dx \] \[ y = -2 \sin x + \frac{x^4}{4} + 4x + C_2 \] 4. Используем начальное условие \( y(0) = 1 \), чтобы найти \( C_2 \): \[ 1 = -2 \sin(0) + \frac{0^4}{4} + 4 \cdot 0 + C_2 \] Так как \( \sin(0) = 0 \): \[ 1 = 0 + 0 + 0 + C_2 \implies C_2 = 1 \] Общее решение уравнения: \[ y(x) = -2 \sin x + \frac{x^4}{4} + 4x + 1 \] 5. Вычислим значение \( y(1) \): \[ y(1) = -2 \sin(1) + \frac{1^4}{4} + 4 \cdot 1 + 1 \] \[ y(1) = -2 \sin(1) + 0.25 + 4 + 1 \] \[ y(1) = 5.25 - 2 \sin(1) \] Используя значение \( \sin(1) \approx 0.84147 \): \[ y(1) \approx 5.25 - 2 \cdot 0.84147 \] \[ y(1) \approx 5.25 - 1.68294 \] \[ y(1) \approx 3.56706 \] Округляем до сотых: \[ y(1) \approx 3.57 \] Ответ: 3.57