Решение дифференциального уравнения y' + sqrt((1-y^2)/(1-x^2)) = 0

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: \[ y' + \sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}} = 0 \] с начальным условием: \[ y(0) = 1 \] Требуется найти значение \( y(1/2) \). 1. Перепишем уравнение, представив \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}} \] 2. Разделим переменные (перенесем все с \( y \) в левую часть, а с \( x \) в правую): \[ \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \] \[ \arcsin y = -\arcsin x + C \] Или в более удобном виде: \[ \arcsin y + \arcsin x = C \] 4. Найдем константу \( C \), используя начальное условие \( y(0) = 1 \): \[ \arcsin(1) + \arcsin(0) = C \] Так как \( \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \) и \( \arcsin(0) = 0 \): \[ \frac{\pi}{2} + 0 = C \implies C = \frac{\pi}{2} \] Частное решение имеет вид: \[ \arcsin y + \arcsin x = \frac{\pi}{2} \] 5. Вычислим значение \( y \) при \( x = 1/2 \): \[ \arcsin y + \arcsin(1/2) = \frac{\pi}{2} \] Известно, что \( \arcsin(1/2) = \frac{\pi}{6} \): \[ \arcsin y + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \] \[ \arcsin y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \] \[ \arcsin y = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \] Отсюда находим \( y \): \[ y = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \] \[ y = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 6. Переведем в десятичную дробь и округлим до сотых: \[ \sqrt{3} \approx 1.732 \] \[ y = \frac{1.732}{2} = 0.866 \] Округляя до сотых, получаем 0.87. Ответ: 0.87