Решение дифференциального уравнения y'' = 4x^3 + 2 sin x

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение второго порядка: \[ y'' = 4x^3 + 2 \sin x \] с начальными условиями: \[ y(0) = 1, \quad y'(0) = 1 \] Требуется найти значение \( y(1) \). 1. Найдем первую производную \( y' \), проинтегрировав правую часть уравнения: \[ y' = \int (4x^3 + 2 \sin x) dx \] \[ y' = \frac{4x^4}{4} - 2 \cos x + C_1 \] \[ y' = x^4 - 2 \cos x + C_1 \] 2. Используем начальное условие \( y'(0) = 1 \), чтобы найти \( C_1 \): \[ 1 = 0^4 - 2 \cos(0) + C_1 \] Так как \( \cos(0) = 1 \): \[ 1 = -2 + C_1 \implies C_1 = 3 \] Получаем выражение для первой производной: \[ y' = x^4 - 2 \cos x + 3 \] 3. Найдем функцию \( y \), проинтегрировав \( y' \): \[ y = \int (x^4 - 2 \cos x + 3) dx \] \[ y = \frac{x^5}{5} - 2 \sin x + 3x + C_2 \] 4. Используем начальное условие \( y(0) = 1 \), чтобы найти \( C_2 \): \[ 1 = \frac{0^5}{5} - 2 \sin(0) + 3 \cdot 0 + C_2 \] Так как \( \sin(0) = 0 \): \[ 1 = 0 - 0 + 0 + C_2 \implies C_2 = 1 \] Частное решение уравнения: \[ y(x) = 0.2x^5 - 2 \sin x + 3x + 1 \] 5. Вычислим значение \( y(1) \): \[ y(1) = 0.2 \cdot 1^5 - 2 \sin(1) + 3 \cdot 1 + 1 \] \[ y(1) = 0.2 - 2 \sin(1) + 3 + 1 \] \[ y(1) = 4.2 - 2 \sin(1) \] Используя значение \( \sin(1) \approx 0.84147 \): \[ y(1) \approx 4.2 - 2 \cdot 0.84147 \] \[ y(1) \approx 4.2 - 1.68294 \] \[ y(1) \approx 2.51706 \] Округляем до сотых: \[ y(1) \approx 2.52 \] Ответ: 2.52