Решение дифференциального уравнения e^(-y)(1+y')=1, y(0)=0

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение первого порядка: \[ e^{-y}(1 + y') = 1 \] с начальным условием: \[ y(0) = 0 \] Требуется найти значение \( y(1) \). 1. Преобразуем уравнение, чтобы разделить переменные. Сначала выразим \( 1 + y' \): \[ 1 + y' = \frac{1}{e^{-y}} \] \[ 1 + y' = e^y \] \[ y' = e^y - 1 \] 2. Запишем \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \) и разделим переменные: \[ \frac{dy}{dx} = e^y - 1 \] \[ \frac{dy}{e^y - 1} = dx \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{e^y - 1} = \int dx \] Для интегрирования левой части сделаем замену \( u = e^y \), тогда \( du = e^y dy \), откуда \( dy = \frac{du}{u} \): \[ \int \frac{du}{u(u - 1)} = x + C \] Разложим дробь на элементарные: \[ \int \left( \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u} \right) du = x + C \] \[ \ln|u-1| - \ln|u| = x + C \] \[ \ln\left| \frac{u-1}{u} \right| = x + C \] Возвращаемся к \( y \): \[ \ln\left| \frac{e^y - 1}{e^y} \right| = x + C \] \[ \ln|1 - e^{-y}| = x + C \] 4. Найдем константу \( C \), используя начальное условие \( y(0) = 0 \): \[ \ln|1 - e^{0}| = 0 + C \] \[ \ln|1 - 1| = C \] Здесь мы видим, что выражение под логарифмом обращается в ноль. Это означает, что наше разделение переменных было формальным, и \( y = 0 \) является частным решением уравнения (так как при \( y = 0 \), \( y' = 0 \), и уравнение \( e^0(1+0) = 1 \) выполняется). Однако, если рассматривать уравнение \( y' = e^y - 1 \) как уравнение с разделяющимися переменными, то при \( y(0) = 0 \) мы находимся в точке равновесия. Проверим еще раз: если \( y(x) = 0 \) для любого \( x \), то \( y' = 0 \). Подставим в исходное уравнение: \[ e^{-0}(1 + 0) = 1 \cdot 1 = 1 \] Условие выполняется. Значит, частным решением, проходящим через точку \( (0, 0) \), является константа: \[ y(x) = 0 \] 5. Вычислим значение \( y(1) \): Так как функция тождественно равна нулю: \[ y(1) = 0 \] В формате, требуемом в пояснении (до сотых): \[ y(1) = 0.00 \] Ответ: 0.00