Решение задачи №3 из билета №11 по теории вероятностей

Билет №11 Задача 3. Условие: Лаборант готовит 20 образцов, 5 из них он готовит неправильно. Найти вероятность: а) что из произвольно взятых 5 образцов все будут хорошие; б) что из произвольно взятых 6 образцов будет не более половины хороших. Решение: Общее количество образцов: \( N = 20 \). Количество неправильных (плохих) образцов: \( M = 5 \). Количество хороших образцов: \( N - M = 20 - 5 = 15 \). Для решения используем классическое определение вероятности и формулу сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] а) Событие А — из 5 взятых образцов все 5 хорошие. Общее число способов выбрать 5 образцов из 20: \[ n = C_{20}^5 = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504 \] Число благоприятных исходов (выбрать 5 хороших из 15 имеющихся): \[ m = C_{15}^5 = \frac{15!}{5! \cdot 10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003 \] Вероятность события А: \[ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3003}{15504} \approx 0,1937 \] б) Событие В — из 6 взятых образцов будет не более половины хороших. "Не более половины" при выборе 6 образцов означает, что хороших образцов может быть 0, 1, 2 или 3. Общее число способов выбрать 6 образцов из 20: \[ n = C_{20}^6 = \frac{20!}{6! \cdot 14!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 38760 \] Рассчитаем количество способов для каждого случая (k — число хороших, 6-k — число плохих): 1) 0 хороших, 6 плохих: невозможно, так как плохих всего 5. \( m_0 = 0 \). 2) 1 хороший, 5 плохих: \( m_1 = C_{15}^1 \cdot C_5^5 = 15 \cdot 1 = 15 \). 3) 2 хороших, 4 плохих: \( m_2 = C_{15}^2 \cdot C_5^4 = \frac{15 \cdot 14}{2} \cdot 5 = 105 \cdot 5 = 525 \). 4) 3 хороших, 3 плохих: \( m_3 = C_{15}^3 \cdot C_5^3 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{5 \cdot 4}{2} = 455 \cdot 10 = 4550 \). Общее число благоприятных исходов: \[ m = m_1 + m_2 + m_3 = 15 + 525 + 4550 = 5090 \] Вероятность события В: \[ P(B) = \frac{5090}{38760} = \frac{509}{3876} \approx 0,1313 \] Ответ: а) \(\approx 0,1937\); б) \(\approx 0,1313\).