Решение Билета №14 по Математике: Двойной Интеграл

Представляю решение заданий из экзаменационного билета №14 по дисциплине «Математика». Билет №14 1. Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл от функции \( f(x, y) \) по области \( D \) обозначается как: \[ \iint\limits_D f(x, y) \, dx \, dy \] Если в двойном интеграле осуществляется переход от переменных \( x, y \) к новым переменным \( u, v \) с помощью функций \( x = x(u, v) \) и \( y = y(u, v) \), то формула замены переменных имеет вид: \[ \iint\limits_D f(x, y) \, dx \, dy = \iint\limits_{D^*} f(x(u, v), y(u, v)) \cdot |J| \, du \, dv \] где \( J \) — определитель Якоби (якобиан) преобразования: \[ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \] Частным случаем является переход к полярным координатам \( x = r \cos \varphi \), \( y = r \sin \varphi \), где \( |J| = r \). 2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Данные теоремы используются в схеме Бернулли при большом количестве испытаний \( n \). Пусть \( p \) — вероятность успеха, \( q = 1 - p \). Локальная теорема Лапласа: если число испытаний \( n \) достаточно велико, то вероятность того, что успех наступит ровно \( k \) раз, приближенно равна: \[ P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi(x), \text{ где } x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}, \text{ а } \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \] Интегральная теорема Лапласа: вероятность того, что число успехов \( k \) будет находиться в интервале от \( k_1 \) до \( k_2 \), приближенно равна: \[ P_n(k_1, k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1), \text{ где } x_i = \frac{k_i - np}{\sqrt{npq}}, \text{ а } \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}} dt \] 3. Задача. Найдите область сходимости степенного ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}(x+1)^{2n-1}}{n^2 4^n} \] Решение: Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся признаком Даламбера для ряда из абсолютных величин. Пусть \( a_n(x) = \frac{\sqrt{n+1}(x+1)^{2n-1}}{n^2 4^n} \). Рассмотрим предел отношения последующего члена к предыдущему: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\sqrt{n+2}(x+1)^{2n+1}}{(n+1)^2 4^{n+1}} \cdot \frac{n^2 4^n}{\sqrt{n+1}(x+1)^{2n-1}} \right| \] Упростим выражение: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x+1)^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \right| = \frac{(x+1)^2}{4} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{(x+1)^2}{4} \] Ряд сходится, если этот предел меньше 1: \[ \frac{(x+1)^2}{4} < 1 \implies (x+1)^2 < 4 \implies |x+1| < 2 \] Отсюда \( -2 < x+1 < 2 \), то есть \( -3 < x < 1 \). Проверим границы: 1) При \( x = 1 \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}(2)^{2n-1}}{n^2 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} \cdot 4^n \cdot 2^{-1}}{n^2 4^n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n^2} \] Так как \( \frac{\sqrt{n+1}}{n^2} \approx \frac{n^{1/2}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}} \), а ряд \( \sum \frac{1}{n^{3/2}} \) сходится (\( p = 1.5 > 1 \)), то в точке \( x = 1 \) ряд сходится. 2) При \( x = -3 \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}(-2)^{2n-1}}{n^2 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} \cdot 4^n \cdot (-2)^{-1}}{n^2 4^n} = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n^2} \] Этот ряд также сходится абсолютно. Ответ: Область сходимости \( x \in [-3, 1] \).