Решение дифференциального уравнения xydx + (x+1)dy = 0, y(1) = 1

Решение задачи: Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: \[ xydx + (x + 1)dy = 0 \] с начальным условием: \[ y(1) = 1 \] Требуется найти значение \( y(2) \). 1. Разделим переменные в уравнении. Перенесем слагаемое с \( dy \) в правую часть: \[ (x + 1)dy = -xydx \] Разделим обе части на \( y(x + 1) \), предполагая, что они не равны нулю: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{x}{x + 1} dx \] 2. Подготовим правую часть к интегрированию, выделив целую часть в дроби: \[ \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1 - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1} \] Тогда уравнение примет вид: \[ \frac{dy}{y} = -\left( 1 - \frac{1}{x + 1} \right) dx \] 3. Проинтегрируем обе части: \[ \int \frac{dy}{y} = \int \left( \frac{1}{x + 1} - 1 \right) dx \] \[ \ln|y| = \ln|x + 1| - x + C \] 4. Найдем константу \( C \), используя начальное условие \( y(1) = 1 \): \[ \ln(1) = \ln(1 + 1) - 1 + C \] \[ 0 = \ln(2) - 1 + C \implies C = 1 - \ln(2) \] 5. Подставим \( C \) обратно в уравнение, чтобы получить частное решение: \[ \ln|y| = \ln|x + 1| - x + 1 - \ln(2) \] Выразим \( y \), потенцируя обе части: \[ y = e^{\ln(x + 1) - x + 1 - \ln(2)} \] \[ y = \frac{x + 1}{2} \cdot e^{1 - x} \] 6. Вычислим значение \( y(2) \): \[ y(2) = \frac{2 + 1}{2} \cdot e^{1 - 2} \] \[ y(2) = \frac{3}{2} \cdot e^{-1} = \frac{1.5}{e} \] Используя значение \( e \approx 2.71828 \): \[ y(2) \approx \frac{1.5}{2.71828} \approx 0.5518 \] Округляем до сотых: \[ y(2) \approx 0.55 \] Ответ: 0.55