Двойной Интеграл. Замена Переменных. Решение Билета №14

Билет №14 Вопрос 1. Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл от функции \(f(x, y)\) по области \(D\) обозначается как: \[ \iint\limits_D f(x, y) \, dx \, dy \] Если в двойном интеграле осуществляется переход от переменных \(x, y\) к новым переменным \(u, v\) с помощью функций \(x = x(u, v)\) и \(y = y(u, v)\), то формула замены переменных имеет вид: \[ \iint\limits_D f(x, y) \, dx \, dy = \iint\limits_{D^*} f(x(u, v), y(u, v)) \cdot |J| \, du \, dv \] где \(J\) — определитель Якоби (якобиан), который вычисляется по формуле: \[ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \] Частным случаем является переход к полярным координатам: \(x = r \cos \varphi\), \(y = r \sin \varphi\). В этом случае \(|J| = r\). Вопрос 2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Данные теоремы используются в схеме Бернулли для вычисления вероятностей при большом количестве испытаний \(n\). 1. Локальная теорема Лапласа: Если вероятность \(p\) появления события в каждом испытании постоянна (\(0 < p < 1\)), то вероятность того, что в \(n\) испытаниях событие наступит ровно \(k\) раз, приближенно равна: \[ P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi(x), \text{ где } x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} \] Здесь \(q = 1 - p\), а \(\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\) — функция Гаусса. 2. Интегральная теорема Лапласа: Вероятность того, что в \(n\) испытаниях событие наступит от \(k_1\) до \(k_2\) раз, приближенно равна: \[ P_n(k_1, k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1) \] где \(x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}\), \(x_2 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}\), а \(\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}} dt\) — функция Лапласа. Задача 3. Найдите область сходимости степенного ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}(x+1)^{2n-1}}{n^2 4^n} \] Решение: Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся признаком Даламбера для ряда из абсолютных величин. Пусть \(u_n(x) = \frac{\sqrt{n+1}(x+1)^{2n-1}}{n^2 4^n}\). Рассмотрим предел отношения последующего члена к предыдущему: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\sqrt{n+2}(x+1)^{2n+1}}{(n+1)^2 4^{n+1}} \cdot \frac{n^2 4^n}{\sqrt{n+1}(x+1)^{2n-1}} \right| \] Упростим выражение: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \cdot \frac{4^n}{4^{n+1}} \cdot \frac{(x+1)^{2n+1}}{(x+1)^{2n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left( 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot |x+1|^2 \right) = \frac{|x+1|^2}{4} \] Ряд сходится, если этот предел меньше 1: \[ \frac{|x+1|^2}{4} < 1 \Rightarrow |x+1|^2 < 4 \Rightarrow |x+1| < 2 \] Отсюда получаем интервал: \(-2 < x+1 < 2\), то есть \(-3 < x < 1\). Проверим сходимость на концах интервала: 1. При \(x = 1\): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}(1+1)^{2n-1}}{n^2 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} \cdot 2^{2n-1}}{n^2 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} \cdot 4^n \cdot 2^{-1}}{n^2 4^n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n^2} \] Так как \(\frac{\sqrt{n+1}}{n^2} \approx \frac{n^{1/2}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}\), а ряд \(\sum \frac{1}{n^{3/2}}\) сходится (\(3/2 > 1\)), то в точке \(x=1\) ряд сходится. 2. При \(x = -3\): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}(-3+1)^{2n-1}}{n^2 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}(-2)^{2n-1}}{n^2 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} \cdot (-1)^{2n-1} \cdot 4^n \cdot 2^{-1}}{n^2 4^n} = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n^2} \] Этот ряд также сходится абсолютно. Ответ: Область сходимости \(x \in [-3, 1]\).