Решение задачи Коши: y'' - 12y' + 37y = 0, y(0) = 4, y'(0) = -2

Решение задачи Коши. Условие: Решите задачу Коши: \[ y'' - 12y' + 37y = 0, \quad y(0) = 4, \quad y'(0) = -2 \] Решение: 1. Составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: \[ k^2 - 12k + 37 = 0 \] 2. Найдем корни характеристического уравнения через дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 144 - 148 = -4 \] Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными: \[ k_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{12 \pm 2i}{2} = 6 \pm i \] Здесь \(\alpha = 6\), \(\beta = 1\). 3. Согласно таблице фундаментальных систем решений (случай 2), общее решение уравнения имеет вид: \[ y = e^{6x} (C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) \] 4. Для использования начальных условий найдем производную общего решения \(y'\): Применим правило производной произведения \((uv)' = u'v + uv'\): \[ y' = (e^{6x})' (C_1 \cos x + C_2 \sin x) + e^{6x} (C_1 \cos x + C_2 \sin x)' \] \[ y' = 6e^{6x} (C_1 \cos x + C_2 \sin x) + e^{6x} (-C_1 \sin x + C_2 \cos x) \] Вынесем \(e^{6x}\) за скобки: \[ y' = e^{6x} (6C_1 \cos x + 6C_2 \sin x - C_1 \sin x + C_2 \cos x) \] \[ y' = e^{6x} ((6C_1 + C_2) \cos x + (6C_2 - C_1) \sin x) \] 5. Подставим начальные условия \(y(0) = 4\) и \(y'(0) = -2\) для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\): Учитывая, что \(\cos(0) = 1\), \(\sin(0) = 0\), \(e^0 = 1\): Из \(y(0) = 4\): \[ 4 = e^0 (C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) \Rightarrow C_1 = 4 \] Из \(y'(0) = -2\): \[ -2 = e^0 ((6C_1 + C_2) \cdot 1 + (6C_2 - C_1) \cdot 0) \] \[ -2 = 6C_1 + C_2 \] Подставим найденное \(C_1 = 4\): \[ -2 = 6 \cdot 4 + C_2 \] \[ -2 = 24 + C_2 \Rightarrow C_2 = -26 \] 6. Запишем искомое частное решение, подставив значения констант в общее решение: \[ y = e^{6x} (4 \cos x - 26 \sin x) \] Ответ: \( y = e^{6x} (4 \cos x - 26 \sin x) \)