Решение задачи: Вычисление двойных интегралов

Для решения данной задачи необходимо вычислить каждый из представленных двойных интегралов. Поскольку пределы интегрирования являются константами, интегралы вычисляются последовательно. 1. Вычислим первый интеграл: \[ I_1 = \int_{1}^{2} dx \int_{1}^{2} dy \] Сначала вычислим внутренний интеграл по \( y \): \[ \int_{1}^{2} dy = [y]_1^2 = 2 - 1 = 1 \] Теперь подставим результат во внешний интеграл по \( x \): \[ I_1 = \int_{1}^{2} 1 \cdot dx = [x]_1^2 = 2 - 1 = 1 \] Ответ для первого выражения: 1. 2. Вычислим второй интеграл: \[ I_2 = \int_{0}^{3} dy \int_{0}^{2} dx \] Сначала вычислим внутренний интеграл по \( x \): \[ \int_{0}^{2} dx = [x]_0^2 = 2 - 0 = 2 \] Теперь подставим результат во внешний интеграл по \( y \): \[ I_2 = \int_{0}^{3} 2 \cdot dy = [2y]_0^3 = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 0 = 6 \] Ответ для второго выражения: 6. 3. Вычислим третий интеграл: \[ I_3 = \int_{0}^{1} dx \int_{2}^{2} dy \] Заметим, что во внутреннем интеграле верхний и нижний пределы совпадают. По свойствам определенного интеграла: \[ \int_{a}^{a} f(y) dy = 0 \] Следовательно: \[ \int_{2}^{2} dy = 0 \] Тогда весь интеграл равен: \[ I_3 = \int_{0}^{1} 0 \cdot dx = 0 \] Ответ для третьего выражения: 0. Итоговое соответствие: 1. Интеграл от 1 до 2 по x и от 1 до 2 по y равен 1. 2. Интеграл от 0 до 3 по y и от 0 до 2 по x равен 6. 3. Интеграл от 0 до 1 по x и от 2 до 2 по y равен 0.