Решение: Область сходимости степенного ряда ∑(n=1 до +∞) (n+1)! (x+2)^n

Для нахождения области сходимости степенного ряда воспользуемся признаком Даламбера. Дан ряд: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)! (x+2)^n \] Общий член ряда имеет вид \( a_n(x) = (n+1)! (x+2)^n \). Рассмотрим предел отношения последующего члена к предыдущему по модулю: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+2)! (x+2)^{n+1}}{(n+1)! (x+2)^n} \right| \] Упростим выражение под знаком предела, используя свойство факториала \( (n+2)! = (n+1)! \cdot (n+2) \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)! (n+2) (x+2)^n (x+2)}{(n+1)! (x+2)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} (n+2) |x+2| \] Проанализируем полученный предел: 1. Если \( x + 2 \neq 0 \) (то есть \( x \neq -2 \)), то предел \( L = \infty \). Согласно признаку Даламбера, если \( L > 1 \), ряд расходится. 2. Если \( x + 2 = 0 \) (то есть \( x = -2 \)), то все члены ряда, начиная с первого, равны нулю: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)! (-2+2)^n = \sum_{n=1}^{+\infty} 0 = 0 \] В этой точке ряд сходится (его сумма равна 0). Таким образом, ряд сходится только в одной точке \( x = -2 \). В математической записи это множество, состоящее из одного элемента. Правильный ответ: \[ \{-2\} \]