Область сходимости степенного ряда ∑ (x+1)^n / n

Для нахождения области сходимости степенного ряда воспользуемся признаком Даламбера. Дан ряд: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+1)^n}{n} \] 1. Найдем радиус сходимости \( R \). Коэффициенты ряда равны \( c_n = \frac{1}{n} \). \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1/(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1 \] 2. Определим интервал сходимости. Ряд сходится при: \[ |x + 1| < R \implies |x + 1| < 1 \] \[ -1 < x + 1 < 1 \] Вычитая 1 из всех частей неравенства, получаем: \[ -2 < x < 0 \] 3. Исследуем сходимость на концах интервала: При \( x = 0 \): Подставим \( x = 0 \) в исходный ряд: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(0+1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \] Это гармонический ряд, который расходится. Значит, точка \( x = 0 \) не входит в область сходимости. При \( x = -2 \): Подставим \( x = -2 \) в исходный ряд: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-2+1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} \] Это знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница: 1) \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \) 2) Последовательность \( \frac{1}{n} \) монотонно убывает. Следовательно, ряд сходится. Значит, точка \( x = -2 \) входит в область сходимости. Объединяя результаты, получаем полуинтервал: \[ [-2; 0) \] Правильный ответ: второй вариант.