Решение задачи: Циркуляция векторного поля по формуле Грина

Для решения задачи необходимо вычислить циркуляцию векторного поля \(\vec{a} = (x - y^2)\vec{i} + 2xy\vec{j}\) по замкнутому контуру \(L\), используя формулу Грина. Формула Грина связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру с двойным интегралом по области \(D\), ограниченной этим контуром: \[ C = \oint_L P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy \] В нашем случае компоненты векторного поля: \[ P(x, y) = x - y^2 \] \[ Q(x, y) = 2xy \] 1. Найдем частные производные: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x - y^2) = -2y \] 2. Вычислим подынтегральное выражение для двойного интеграла: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2y - (-2y) = 2y + 2y = 4y \] 3. На фотографии контур \(L\) виден не полностью, но обычно в таких задачах контур ограничивается линиями \(y = x^2\) и \(y = x\) (или \(y = 1\)). Судя по вариантам ответов (дроби), предположим стандартную область, ограниченную параболой \(y = x^2\) и прямой \(y = x\) в первой четверти (точки пересечения \(x=0\) и \(x=1\)). Запишем двойной интеграл: \[ C = \iint_D 4y \, dx dy = \int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} 4y \, dy \] 4. Вычислим внутренний интеграл по \(y\): \[ \int_{x^2}^{x} 4y \, dy = [2y^2]_{x^2}^{x} = 2(x)^2 - 2(x^2)^2 = 2x^2 - 2x^4 \] 5. Вычислим внешний интеграл по \(x\): \[ C = \int_{0}^{1} (2x^2 - 2x^4) dx = \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{2x^5}{5} \right]_0^1 \] \[ C = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) - 0 = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15} \] Ответ: \(\frac{4}{15}\). (Это соответствует первому видимому варианту на скриншоте).