Задача 1.
Дано:
\(O\) — середина \(AB\)
\(O\) — середина \(DC\)
\(\angle OAD = 112^\circ\)
\(BC = 7\) см
Найти: \(\angle OBC\), \(AD\).
Решение:
1. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOD\) и \(\triangle BOC\).
2. По условию, \(O\) — середина \(AB\), значит \(AO = OB\).
3. По условию, \(O\) — середина \(DC\), значит \(DO = OC\).
4. Углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) являются вертикальными, поэтому \(\angle AOD = \angle BOC\).
5. Из пунктов 2, 3, 4 следует, что \(\triangle AOD\) равен \(\triangle BOC\) по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников \(\triangle AOD\) и \(\triangle BOC\) следуют равенства соответствующих элементов:
а) \(AD = BC\). Так как \(BC = 7\) см, то \(AD = 7\) см.
б) \(\angle OAD = \angle OBC\). Так как \(\angle OAD = 112^\circ\), то \(\angle OBC = 112^\circ\).
Ответ: \(\angle OBC = 112^\circ\), \(AD = 7\) см.
Задача 2.
Дано:
Луч \(AD\) — биссектриса угла \(A\).
На сторонах угла \(A\) отмечены точки \(B\) и \(C\).
\(\angle ADC = \angle ADB\).
Доказать: \(AB = AC\).
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ADB\) и \(\triangle ADC\).
2. По условию, луч \(AD\) — биссектриса угла \(A\). Это означает, что \(\angle BAD = \angle CAD\).
3. Сторона \(AD\) является общей для обоих треугольников \(\triangle ADB\) и \(\triangle ADC\).
4. По условию, \(\angle ADC = \angle ADB\).
5. Из пунктов 2, 3, 4 следует, что \(\triangle ADB\) равен \(\triangle ADC\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников \(\triangle ADB\) и \(\triangle ADC\) следует равенство соответствующих сторон: \(AB = AC\).
Что и требовалось доказать.
Задача 3.
Дано:
\(AB = CD\)
\(BK = DM\)
\(AM = CK\)
Вопрос: \(\triangle ADM = \triangle CBK\)?
Решение:
1. Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\). Из рисунка видно, что это параллелограмм, так как \(AB\) параллельно \(CD\) и \(AD\) параллельно \(BC\). Однако, в условии это не дано, поэтому мы не можем использовать свойства параллелограмма напрямую, если они не следуют из данных.
2. Нам даны три пары равных отрезков: \(AB = CD\), \(BK = DM\), \(AM = CK\).
3. Для того чтобы доказать равенство треугольников \(\triangle ADM\) и \(\triangle CBK\), нам нужно показать равенство трех соответствующих сторон или двух сторон и угла между ними, или стороны и двух прилежащих углов.
4. Рассмотрим стороны треугольников \(\triangle ADM\) и \(\triangle CBK\):
а) \(AM\) и \(CK\). По условию, \(AM = CK\).
б) \(DM\) и \(BK\). По условию, \(DM = BK\).
в) \(AD\) и \(CB\).
5. Если мы сможем доказать, что \(AD = CB\), то треугольники будут равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).
6. Из условия \(AB = CD\) и того, что \(ABCD\) является четырехугольником, можно предположить, что это параллелограмм. Если \(ABCD\) — параллелограмм, то \(AD = BC\).
7. Если \(AD = BC\), то все три стороны треугольника \(\triangle ADM\) равны соответствующим сторонам треугольника \(\triangle CBK\):
\(AM = CK\) (дано)
\(DM = BK\) (дано)
\(AD = CB\) (если \(ABCD\) — параллелограмм)
8. В таком случае, \(\triangle ADM = \triangle CBK\) по трем сторонам.
9. Однако, без явного указания, что \(ABCD\) — параллелограмм, или без дополнительных данных, которые позволили бы это доказать (например, параллельность сторон или равенство углов), мы не можем однозначно утверждать, что \(AD = BC\).
10. Если же задача подразумевает, что \(ABCD\) — это параллелограмм (что часто бывает в задачах с такой конфигурацией), то ответ будет "да".
11. Предположим, что \(ABCD\) — параллелограмм. Тогда \(AD = BC\).
12. Тогда \(\triangle ADM\) и \(\triangle CBK\) равны по трем сторонам: \(AD = CB\), \(DM = BK\), \(AM = CK\).
Ответ: Да, \(\triangle ADM = \triangle CBK\), если четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом. Исходя из стандартных задач по геометрии, такая конфигурация обычно подразумевает параллелограмм.