Решение:

Решение показательного неравенства: \[ \frac{4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 4}{2^x - 5} + \frac{3 \cdot 2^{x+1} - 46}{2^x - 8} \le 2^x + 5 \] 1. Сделаем замену переменной. Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 4^x = (2^x)^2 = t^2 \), а \( 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t \). 2. Перепишем неравенство с учетом замены: \[ \frac{t^2 - 3 \cdot 2t + 4}{t - 5} + \frac{3 \cdot 2t - 46}{t - 8} \le t + 5 \] \[ \frac{t^2 - 6t + 4}{t - 5} + \frac{6t - 46}{t - 8} - (t + 5) \le 0 \] 3. Выделим целую часть в первой дроби: \[ \frac{t^2 - 6t + 4}{t - 5} = \frac{t(t - 5) - t + 4}{t - 5} = t + \frac{-t + 4}{t - 5} = t + \frac{-(t - 5) - 1}{t - 5} = t - 1 - \frac{1}{t - 5} \] 4. Подставим это в основное выражение: \[ t - 1 - \frac{1}{t - 5} + \frac{6t - 46}{t - 8} - t - 5 \le 0 \] \[ -6 - \frac{1}{t - 5} + \frac{6t - 46}{t - 8} \le 0 \] 5. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{-6(t-5)(t-8) - (t-8) + (6t-46)(t-5)}{(t-5)(t-8)} \le 0 \] \[ \frac{-6(t^2 - 13t + 40) - t + 8 + (6t^2 - 30t - 46t + 230)}{(t-5)(t-8)} \le 0 \] \[ \frac{-6t^2 + 78t - 240 - t + 8 + 6t^2 - 76t + 230}{(t-5)(t-8)} \le 0 \] \[ \frac{t - 2}{(t-5)(t-8)} \le 0 \] 6. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов для \( t \): Критические точки: \( t = 2 \) (числитель), \( t = 5 \) и \( t = 8 \) (знаменатель). Расставим знаки на промежутках: - При \( t \in (-\infty; 2] \) знак "минус" (подходит) - При \( t \in (2; 5) \) знак "плюс" - При \( t \in (5; 8) \) знак "минус" (подходит) - При \( t \in (8; +\infty) \) знак "плюс" Так как \( t = 2^x > 0 \), получаем два промежутка: \[ 0 < t \le 2 \quad \text{или} \quad 5 < t < 8 \] 7. Вернемся к переменной \( x \): Первый случай: \[ 2^x \le 2^1 \implies x \le 1 \] Второй случай: \[ 5 < 2^x < 8 \] \[ \log_2 5 < x < \log_2 8 \] \[ \log_2 5 < x < 3 \] Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup (\log_2 5; 3) \)