Решение интеграла ∫ (x - e^x x^2 + 2)/x^2 dx

Для решения данного интеграла воспользуемся методом почленного деления числителя на знаменатель. Задание: Найти интеграл \( \int \frac{x - e^x x^2 + 2}{x^2} dx \) Решение для тетради: 1. Разделим каждое слагаемое числителя на \( x^2 \): \[ \int \left( \frac{x}{x^2} - \frac{e^x x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2} \right) dx \] 2. Упростим полученное выражение: \[ \int \left( \frac{1}{x} - e^x + 2x^{-2} \right) dx \] 3. Применим табличные формулы интегрирования для каждого слагаемого: \[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| \] \[ \int e^x dx = e^x \] \[ \int 2x^{-2} dx = 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{2}{x} \] 4. Собираем результат воедино и добавляем константу \( C \): \[ \ln|x| - e^x - \frac{2}{x} + C \] Сверяем с предложенными вариантами. Правильным является второй вариант. Ответ: \( \ln|x| - e^x - \frac{2}{x} + C \)