Решение интеграла ∫x(x²+2√x)dx

Для решения данного интеграла сначала необходимо раскрыть скобки, перемножив множители в подынтегральном выражении. Задание: Найти интеграл \( \int x (x^2 + 2\sqrt{x}) dx \) Решение для переписывания в тетрадь: 1. Раскроем скобки, используя правила работы со степенями (\( x^a \cdot x^b = x^{a+b} \)): \[ x(x^2 + 2x^{1/2}) = x^3 + 2x^{1 + 1/2} = x^3 + 2x^{3/2} \] 2. Запишем интеграл от полученной суммы: \[ \int (x^3 + 2x^{3/2}) dx \] 3. Интегрируем каждое слагаемое по табличной формуле \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \): \[ \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2 \cdot \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + C \] 4. Выполним вычисления в показателях и знаменателях: \[ \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} + C \] 5. Упростим коэффициент перед вторым слагаемым: \[ \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{2}{5}x^{5/2} + C = \frac{x^4}{4} + \frac{4}{5}x^{5/2} + C \] Сверяем полученный результат с вариантами ответов. Правильным является четвертый вариант. Ответ: \( \frac{x^4}{4} + \frac{4}{5}x^{5/2} + C \)