Решение интеграла ∫(cos(x/2) - sin(x/2))^2 dx

Для решения этого интеграла воспользуемся формулой квадрата разности и тригонометрическими тождествами. Задание: Найти интеграл \( \int (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2 dx \) Решение для переписывания в тетрадь: 1. Раскроем квадрат разности по формуле \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \[ (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2 = \cos^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} \] 2. Упростим полученное выражение, используя основные тригонометрические формулы: - Основное тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) - Синус двойного угла: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha) \) В нашем случае \( \alpha = \frac{x}{2} \), поэтому: \[ \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1 \] \[ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x \] 3. Таким образом, подынтегральное выражение принимает вид: \[ 1 - \sin x \] 4. Вычисляем интеграл: \[ \int (1 - \sin x) dx = \int 1 dx - \int \sin x dx = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C \] Ответ: \( x + \cos x + C \)