Решение интеграла ∫(x²-2)/(x²+4) dx

Для решения данного интеграла необходимо выделить целую часть дроби в подынтегральном выражении. Задание: Найти интеграл \( \int \frac{x^2 - 2}{x^2 + 4} dx \) Решение для переписывания в тетрадь: 1. Преобразуем числитель так, чтобы в нем появилось выражение, стоящее в знаменателе: \[ \frac{x^2 - 2}{x^2 + 4} = \frac{(x^2 + 4) - 6}{x^2 + 4} \] 2. Выполним почленное деление: \[ \frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} - \frac{6}{x^2 + 4} = 1 - \frac{6}{x^2 + 4} \] 3. Запишем интеграл от полученной разности: \[ \int \left( 1 - \frac{6}{x^2 + 4} \right) dx \] 4. Интегрируем каждое слагаемое. Для второго слагаемого используем табличную формулу \( \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \text{arctg} \frac{x}{a} + C \), где \( a^2 = 4 \), следовательно \( a = 2 \): \[ \int 1 dx - 6 \int \frac{dx}{x^2 + 2^2} = x - 6 \cdot \frac{1}{2} \text{arctg} \frac{x}{2} + C \] 5. Упростим коэффициент: \[ x - 3 \text{arctg} \frac{x}{2} + C \] Сверяем с предложенными вариантами. Правильным является второй вариант. Ответ: \( x - 3 \text{arctg} \frac{x}{2} + C \)