Решение задач на Интегралы (ГДЗ)

Ниже представлено решение трех задач с фотографии, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Найти неопределенный интеграл: \[ \int (x^{\frac{1}{3}} + 5x - 2) dx \] Решение: Воспользуемся свойством линейности интеграла и табличной формулой \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). \[ \int x^{\frac{1}{3}} dx + \int 5x dx - \int 2 dx = \] \[ = \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} + 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 2x + C = \] \[ = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + \frac{5x^2}{2} - 2x + C = \] \[ = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + 2,5x^2 - 2x + C \] Ответ: \( \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + 2,5x^2 - 2x + C \) Задание 2. Найти неопределенный интеграл: \[ \int (3x^2 + 2x + x^5) dx \] Решение: Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: \[ \int 3x^2 dx + \int 2x dx + \int x^5 dx = \] \[ = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{x^6}{6} + C = \] \[ = x^3 + x^2 + \frac{x^6}{6} + C \] Ответ: \( x^3 + x^2 + \frac{x^6}{6} + C \) Задание 3. Вычислить определенный интеграл: \[ \int_{0}^{1} (x^3 + 5x + 2) dx \] Решение: Сначала найдем первообразную функцию, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница: \[ \left( \frac{x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + 2x \right) \bigg|_0^1 = \] Подставим верхний предел (1), а затем вычтем подстановку нижнего предела (0): \[ = \left( \frac{1^4}{4} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^4}{4} + \frac{5 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right) = \] \[ = \frac{1}{4} + \frac{5}{2} + 2 = 0,25 + 2,5 + 2 = 4,75 \] Ответ: \( 4,75 \)