Решение: Графики линейных функций и их производные

Задание 7. Установление соответствия между графиками линейных функций и значениями их производных. Геометрический смысл производной для линейной функции \( y = kx + b \) заключается в том, что производная в любой точке равна угловому коэффициенту прямой \( k \). Угловой коэффициент можно найти по формуле: \[ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} \] где \( \Delta y \) — изменение по вертикали, а \( \Delta x \) — изменение по горизонтали между двумя точками на прямой. Решение: 1) Первый график (сверху): Прямая возрастает. Выберем две точки на узлах сетки. Например, при прохождении 4 клеток вправо (\( \Delta x = 4 \)), прямая поднимается на 1 клетку вверх (\( \Delta y = 1 \)). \[ f'(1) = k = \frac{1}{4} = 0,25 \] Соответствие: 0,25. 2) Второй график: Прямая убывает. При прохождении 2 клеток вправо (\( \Delta x = 2 \)), прямая опускается на 1 клетку вниз (\( \Delta y = -1 \)). \[ f'(1) = k = \frac{-1}{2} = -0,5 \] Соответствие: -0,5. 3) Третий график: Прямая круто возрастает. При прохождении 2 клеток вправо (\( \Delta x = 2 \)), прямая поднимается на 5 клеток вверх (\( \Delta y = 5 \)). \[ f'(1) = k = \frac{5}{2} = 2,5 \] Соответствие: 2,5. 4) Четвертый график (снизу): Прямая круто убывает. При прохождении 1 клетки вправо (\( \Delta x = 1 \)), прямая опускается на 4 клетки вниз (\( \Delta y = -4 \)). \[ f'(1) = k = \frac{-4}{1} = -4 \] Соответствие: -4. Итоговые пары (График — Характеристика): 1-й график — 0,25 2-й график — -0,5 3-й график — 2,5 4-й график — -4