Решение задачи: Каучуковый мячик и высота прыжка

Вот решения задач: Задача 14. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4.8 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик первый раз не достигнет высоты 15 см? Решение: Начальная высота прыжка \(h_1 = 4.8\) м. Каждый следующий прыжок высота уменьшается в 3 раза. То есть, \(h_n = h_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\), где \(n\) - номер прыжка. Нам нужно найти, при каком \(n\) высота \(h_n\) станет меньше 15 см. Переведем все величины в одну систему единиц, например, в сантиметры. \(h_1 = 4.8\) м \( = 4.8 \cdot 100\) см \( = 480\) см. Искомая высота \(15\) см. Составим неравенство: \(480 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 15\) Разделим обе части на 480: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{15}{480}\) \(\frac{15}{480} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 160} = \frac{5}{160} = \frac{1}{32}\) Итак, \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{32}\) Чтобы избавиться от дроби, можно перевернуть обе части неравенства, при этом знак неравенства изменится: \(3^{n-1} > 32\) Теперь нужно найти степень тройки, которая больше 32. \(3^1 = 3\) \(3^2 = 9\) \(3^3 = 27\) \(3^4 = 81\) Мы видим, что \(3^3 = 27\) еще меньше 32, а \(3^4 = 81\) уже больше 32. Значит, \(n-1\) должно быть равно 4. \(n-1 = 4\) \(n = 4 + 1\) \(n = 5\) Таким образом, на пятом прыжке мячик первый раз не достигнет высоты 15 см. Ответ: 5 Задача 15. В треугольнике ABC известно, что \(AC = 28\), \(BM = 18\), \(BM\) - медиана. Найдите \(AM\). Решение: Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, \(BM\) - медиана, проведенная из вершины \(B\) к стороне \(AC\). Это означает, что точка \(M\) является серединой стороны \(AC\). Следовательно, отрезок \(AM\) равен половине длины стороны \(AC\). \(AM = \frac{AC}{2}\) \(AM = \frac{28}{2}\) \(AM = 14\) Длина медианы \(BM = 18\) в данной задаче является избыточной информацией и не требуется для нахождения \(AM\). Ответ: 14 Задача 16. В треугольнике ABC известно, что \(AC = 20\), \(BC = 15\), угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности. Решение: Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC является прямоугольным. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы. Гипотенуза в прямоугольном треугольнике - это сторона, лежащая напротив прямого угла. В данном случае, это сторона \(AB\). Сначала найдем длину гипотенузы \(AB\) по теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) \(AB^2 = 20^2 + 15^2\) \(AB^2 = 400 + 225\) \(AB^2 = 625\) \(AB = \sqrt{625}\) \(AB = 25\) Теперь найдем радиус описанной окружности \(R\): \(R = \frac{AB}{2}\) \(R = \frac{25}{2}\) \(R = 12.5\) Ответ: 12.5 Задача 17. Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 4 и 9. Решение: Пусть дана равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 9\) и \(BC = 4\). Пусть диагональ \(AC\) образует с основанием \(AD\) угол \(CAD = 45^\circ\). Проведем высоту \(CH\) из вершины \(C\) к основанию \(AD\). В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из вершин верхнего основания на нижнее, то отрезки, отсекаемые по краям нижнего основания, равны. Пусть \(BH_1\) и \(CH\) - высоты. Тогда \(AH_1 = HD = \frac{AD - BC}{2}\). \(HD = \frac{9 - 4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CHD\). Угол \(CDH\) - это угол при основании трапеции. Угол \(CAD = 45^\circ\). В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Рассмотрим треугольник \(ACH\). Угол \(CHA = 90^\circ\). Угол \(CAH = 45^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, угол \(ACH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Так как углы при основании \(AH\) в треугольнике \(ACH\) равны (\(CAH = ACH = 45^\circ\)), то треугольник \(ACH\) является равнобедренным. Следовательно, \(CH = AH\). Теперь найдем длину отрезка \(AH\). \(AH = AD - HD\) \(AH = 9 - 2.5\) \(AH = 6.5\) Так как \(CH = AH\), то высота трапеции \(CH = 6.5\). Ответ: 6.5 Задача 18. На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего? Решение: Посчитаем радиусы кругов по клеткам. Для меньшего круга: радиус \(r_1 = 2\) клетки. Для большего круга: радиус \(r_2 = 4\) клетки. Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). Площадь меньшего круга \(S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\). Площадь большего круга \(S_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\). Чтобы узнать, во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего, нужно разделить площадь большего круга на площадь меньшего круга: \(\frac{S_2}{S_1} = \frac{16\pi}{4\pi}\) \(\frac{S_2}{S_1} = \frac{16}{4}\) \(\frac{S_2}{S_1} = 4\) Площадь большего круга в 4 раза больше площади меньшего круга. Ответ: 4