Контрольная работа №2 Вариант 1: Решение задач

Вот решение задач из "КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 ВАРИАНТ 1". Контрольная работа № 2 Вариант 1 1. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 20 см, а один из его углов равен 30°. Найдите площадь параллелограмма. Решение: Пусть стороны параллелограмма \(a = 12\) см и \(b = 20\) см. Угол между этими сторонами \(\alpha = 30^\circ\). Площадь параллелограмма \(S\) можно найти по формуле: \(S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\) Подставим известные значения: \(S = 12 \cdot 20 \cdot \sin(30^\circ)\) Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). \(S = 12 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2}\) \(S = 240 \cdot \frac{1}{2}\) \(S = 120\) Ответ: Площадь параллелограмма равна 120 см\(^2\). 2. Найдите периметр прямоугольника, если его диагональ равна 15 см, а одна из сторон – 9 см. Решение: Пусть дан прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). Диагональ прямоугольника \(d = 15\) см. Одна из сторон, например, \(a = 9\) см. В прямоугольнике диагональ, две смежные стороны и прямой угол образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + b^2\) Подставим известные значения: \(15^2 = 9^2 + b^2\) \(225 = 81 + b^2\) Чтобы найти \(b^2\), вычтем 81 из 225: \(b^2 = 225 - 81\) \(b^2 = 144\) Теперь найдем \(b\), извлекая квадратный корень: \(b = \sqrt{144}\) \(b = 12\) см. Периметр прямоугольника \(P\) находится по формуле: \(P = 2 \cdot (a + b)\) Подставим значения \(a\) и \(b\): \(P = 2 \cdot (9 + 12)\) \(P = 2 \cdot 21\) \(P = 42\) Ответ: Периметр прямоугольника равен 42 см. 3. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см\(^2\), а ее высота равна 8 см. Найти все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см. Решение: Пусть основания трапеции \(a\) и \(b\). Высота трапеции \(h = 8\) см. Площадь трапеции \(S = 120\) см\(^2\). Одно из оснований больше другого на 6 см. Пусть \(a\) – большее основание, \(b\) – меньшее основание. Тогда \(a = b + 6\). Формула площади трапеции: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\) Подставим известные значения: \(120 = \frac{(b + 6) + b}{2} \cdot 8\) \(120 = \frac{2b + 6}{2} \cdot 8\) \(120 = (b + 3) \cdot 8\) Разделим обе части уравнения на 8: \(\frac{120}{8} = b + 3\) \(15 = b + 3\) Чтобы найти \(b\), вычтем 3 из 15: \(b = 15 - 3\) \(b = 12\) см. Теперь найдем \(a\): \(a = b + 6\) \(a = 12 + 6\) \(a = 18\) см. Итак, основания трапеции равны 18 см и 12 см. Высота \(h = 8\) см. Трапеция прямоугольная, это означает, что одна из боковых сторон является высотой. То есть, одна из боковых сторон равна 8 см. Чтобы найти вторую боковую сторону, опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Эта высота разделит большее основание на два отрезка. Длина одного из этих отрезков будет равна меньшему основанию \(b\), а длина другого отрезка будет равна \(a - b\). Длина этого отрезка: \(18 - 12 = 6\) см. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, образованный высотой (8 см), этим отрезком (6 см) и второй боковой стороной (гипотенузой). Пусть вторая боковая сторона будет \(c\). По теореме Пифагора: \(c^2 = h^2 + (a - b)^2\) \(c^2 = 8^2 + 6^2\) \(c^2 = 64 + 36\) \(c^2 = 100\) Извлечем квадратный корень: \(c = \sqrt{100}\) \(c = 10\) см. Итак, все стороны трапеции: Основания: 18 см и 12 см. Боковые стороны: 8 см (высота) и 10 см. Ответ: Стороны трапеции равны 18 см, 12 см, 8 см и 10 см.