Решение задач с тригонометрическими функциями

Ниже представлены решения упражнений из таблицы. Для вычислений используются значения тригонометрических функций, приведенные в верхней части вашего изображения. Упражнения. Вычислить: 1. \( 5\sin 90^\circ + 2\cos 0^\circ - 2\sin 270^\circ + 10\cos 180^\circ = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) + 10 \cdot (-1) = 5 + 2 + 2 - 10 = -1 \) 2. \( 3\text{tg} 0^\circ + 2\cos 90^\circ + 3\sin 270^\circ - 3\cos 180^\circ = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) = 0 + 0 - 3 + 3 = 0 \) 3. \( \sin 180^\circ + \sin 270^\circ - \text{ctg} 90^\circ + \text{tg} 180^\circ - \cos 90^\circ = 0 + (-1) - 0 + 0 - 0 = -1 \) 4. \( \text{tg} \pi - \sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} + \sin \pi = 0 - (-1) + 0 + 0 = 1 \) 5. \( \sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{3\pi}{2} + \cos \pi - \text{tg} 0 = 1 - 0 + (-1) - 0 = 0 \) 6. \( 4\sin \pi \cdot \cos 2\pi + 5\text{tg} \pi = 4 \cdot 0 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 0 \) 7. \( 4\text{tg} 2\pi - 2\sin \frac{\pi}{2} + 3\cos \frac{3\pi}{2} - 4\text{tg} \pi = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 = -2 \) 8. \( 6 - \sin 2\pi - 3\cos \pi + 2\sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos 2\pi = 6 - 0 - 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6 + 3 + 2 = 11 \) 9. \( 4\sin \pi - 2\cos \frac{3\pi}{2} + 3\sin 2\pi - \text{tg} \pi = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 0 = 0 \) 10. \( 6 - 2\sin 2\pi - 3\cos \pi + 2\sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos 2\pi = 6 - 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6 + 3 + 2 = 11 \) 11. \( 2\sin \frac{\pi}{4} + 3\cos \frac{\pi}{3} - 5\text{tg} \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 5 \cdot 1 = \sqrt{2} + 1,5 - 5 = \sqrt{2} - 3,5 \) 12. \( 4\text{tg} 2\pi - 2\sin \frac{\pi}{3} + 3\cos \frac{\pi}{6} - 4\sin \frac{\pi}{6} = 4 \cdot 0 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} = -\sqrt{3} + 1,5\sqrt{3} - 2 = 0,5\sqrt{3} - 2 \) 13. \( 3\sin \frac{\pi}{3} - 2\cos \frac{\pi}{6} + 3\text{tg} \frac{\pi}{3} - 4\text{ctg} \frac{\pi}{2} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cdot \sqrt{3} - 4 \cdot 0 = 1,5\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 3,5\sqrt{3} \) 14. \( 3 - \sin^2 \frac{\pi}{2} + 2\cos^2 \frac{\pi}{3} - 3\text{tg}^2 \frac{\pi}{4} = 3 - (1)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 3 \cdot (1)^2 = 3 - 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} - 3 = 2 + 0,5 - 3 = -0,5 \) 15. \( (2\sin \frac{\pi}{4})^2 - (3\text{tg} \frac{\pi}{6})^2 + (2\cos \frac{\pi}{6})^4 - (2\text{ctg} \frac{\pi}{4})^2 = (2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^4 - (2 \cdot 1)^2 = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^4 - 4 = 2 - 3 + 9 - 4 = 4 \) 16. \( \frac{4 - 2\text{tg}^2 45^\circ + \text{ctg}^4 60^\circ}{3\sin^3 90^\circ - 4\cos^2 60^\circ + 4\text{ctg} 45^\circ} = \frac{4 - 2 \cdot 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^4}{3 \cdot 1^3 - 4 \cdot (\frac{1}{2})^2 + 4 \cdot 1} = \frac{4 - 2 + \frac{9}{81}}{3 - 4 \cdot \frac{1}{4} + 4} = \frac{2 + \frac{1}{9}}{3 - 1 + 4} = \frac{\frac{19}{9}}{6} = \frac{19}{54} \)