Решение: Найти производную функций (Вариант 5)

5 вариант Найти производную функций: 1) \( y = 8 \) Производная константы равна нулю. \[ y' = (8)' = 0 \] 2) \( y = x \) Производная переменной \( x \) по \( x \) равна единице. \[ y' = (x)' = 1 \] 3) \( y = 8x \) Постоянный множитель выносится за знак производной. \[ y' = (8x)' = 8 \cdot (x)' = 8 \cdot 1 = 8 \] 4) \( y = x^2 \) Используем формулу степенной функции \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \). \[ y' = (x^2)' = 2x \] 5) \( y = 8x^3 + 8 \) Производная суммы равна сумме производных. \[ y' = (8x^3)' + (8)' = 8 \cdot 3x^2 + 0 = 24x^2 \] 6) \( y = 5x^5 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 4 \) Находим производную каждого слагаемого: \[ y' = (5x^5)' + (\frac{1}{3}x^3)' + (\frac{1}{2}x^2)' + (4)' \] \[ y' = 5 \cdot 5x^4 + \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 \] \[ y' = 25x^4 + x^2 + x \] 7) \( y = (2x^3 - 5)(3x^2 - 5) \) Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): Пусть \( u = 2x^3 - 5 \), тогда \( u' = 6x^2 \). Пусть \( v = 3x^2 - 5 \), тогда \( v' = 6x \). \[ y' = (6x^2)(3x^2 - 5) + (2x^3 - 5)(6x) \] Раскроем скобки: \[ y' = 18x^4 - 30x^2 + 12x^4 - 30x \] \[ y' = 30x^4 - 30x^2 - 30x \] 8) \( y = \frac{8x^2}{x + 2} \) Используем правило производной частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): Пусть \( u = 8x^2 \), тогда \( u' = 16x \). Пусть \( v = x + 2 \), тогда \( v' = 1 \). \[ y' = \frac{(16x)(x + 2) - (8x^2)(1)}{(x + 2)^2} \] Раскроем скобки в числителе: \[ y' = \frac{16x^2 + 32x - 8x^2}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{8x^2 + 32x}{(x + 2)^2} \] Можно вынести общий множитель: \[ y' = \frac{8x(x + 4)}{(x + 2)^2} \]