Решение задачи: Круговой сектор

Для решения данной задачи воспользуемся основными формулами для нахождения характеристик кругового сектора. Пусть \(\alpha\) — угол в градусах, \(\beta\) — угол в радианах, \(R\) — радиус, \(L\) — длина дуги, \(S\) — площадь сектора. Основные формулы: 1. Перевод углов: \(\beta = \frac{\alpha \cdot \pi}{180}\) или \(\alpha = \frac{\beta \cdot 180}{\pi}\). 2. Длина дуги: \(L = R \cdot \beta\). 3. Площадь сектора: \(S = \frac{1}{2} R^2 \beta\) или \(S = \frac{1}{2} L \cdot R\). Заполним таблицу по столбцам: Столбец 1: Дано: \(\alpha = 30^{\circ}\), \(R = 2\) см. \(\beta = \frac{30 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{6}\) рад. \(L = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \approx 1,05\) см. \(S = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \approx 1,05\) см\(^2\). Столбец 2: Дано: \(\beta = \frac{\pi}{5}\) рад, \(L = 2\) см. \(\alpha = \frac{\pi/5 \cdot 180}{\pi} = 36^{\circ}\). \(R = \frac{L}{\beta} = \frac{2}{\pi/5} = \frac{10}{\pi} \approx 3,18\) см. \(S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{10}{\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3,18\) см\(^2\). Столбец 3: Дано: \(R = 10\) см, \(L = 5\) см. \(\beta = \frac{L}{R} = \frac{5}{10} = 0,5\) рад. \(\alpha = \frac{0,5 \cdot 180}{\pi} = \frac{90}{\pi} \approx 28,65^{\circ}\). \(S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25\) см\(^2\). Столбец 4: Дано: \(R = 5\) см, \(S = 50\) см\(^2\). \(S = \frac{1}{2} R^2 \beta \Rightarrow 50 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \beta \Rightarrow \beta = \frac{100}{25} = 4\) рад. \(\alpha = \frac{4 \cdot 180}{\pi} = \frac{720}{\pi} \approx 229,18^{\circ}\). \(L = 5 \cdot 4 = 20\) см. Столбец 5: Дано: \(\beta = 2\) рад, \(S = 25\) см\(^2\). \(S = \frac{1}{2} R^2 \beta \Rightarrow 25 = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot 2 \Rightarrow R^2 = 25 \Rightarrow R = 5\) см. \(\alpha = \frac{2 \cdot 180}{\pi} = \frac{360}{\pi} \approx 114,59^{\circ}\). \(L = 5 \cdot 2 = 10\) см. Столбец 6: Дано: \(L = 10\) см, \(S = 50\) см\(^2\). \(S = \frac{1}{2} L \cdot R \Rightarrow 50 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot R \Rightarrow R = 10\) см. \(\beta = \frac{L}{R} = \frac{10}{10} = 1\) рад. \(\alpha = \frac{1 \cdot 180}{\pi} = \frac{180}{\pi} \approx 57,3^{\circ}\). Итоговая таблица для тетради: Угол, \(^{\circ}\): \(30^{\circ}\) | \(36^{\circ}\) | \(28,65^{\circ}\) | \(229,18^{\circ}\) | \(114,59^{\circ}\) | \(57,3^{\circ}\) Угол, рад: \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{5}\) | \(0,5\) | \(4\) | \(2\) | \(1\) Радиус, см: \(2\) | \(\frac{10}{\pi}\) | \(10\) | \(5\) | \(5\) | \(10\) Длина дуги, см: \(\frac{\pi}{3}\) | \(2\) | \(5\) | \(20\) | \(10\) | \(10\) Площадь, см\(^2\): \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{10}{\pi}\) | \(25\) | \(50\) | \(25\) | \(50\)