Решение задачи: Центр тяжести методом отрицательных масс

Центр тяжести системы материальных точек — это геометрическая точка, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этой системы при любом её положении в пространстве. Для неоднородного тела центр тяжести определяется аналогично, как точка приложения суммарной силы тяжести, действующей на все элементарные объемы тела. Способы определения центра тяжести однородных тел: 1. Геометрический метод (использование симметрии тела). 2. Метод разбиения (представление сложного тела как совокупности простых частей). 3. Метод отрицательных масс (используется для тел с вырезами или отверстиями). 4. Экспериментальный метод (метод подвешивания). Решение задачи методом отрицательных масс: Дано: Радиус диска \( R = 0,5 \) м. Координаты центра диска \( O(0; 0) \). Радиус отверстия \( r = 0,1 \) м. Координаты центра отверстия \( O_1(x_1; y_1) \), где \( x_1 = -0,25 \) м, \( y_1 = -0,25 \) м. Найти: \( X_c, Y_c \) — координаты центра тяжести диска с отверстием. 1. Площадь целого диска: \[ S = \pi R^2 = \pi \cdot (0,5)^2 = 0,25\pi \] 2. Площадь отверстия (принимаем её со знаком минус): \[ s = \pi r^2 = \pi \cdot (0,1)^2 = 0,01\pi \] 3. Координаты центра тяжести системы вычисляются по формулам: \[ X_c = \frac{S \cdot x_0 - s \cdot x_1}{S - s} \] \[ Y_c = \frac{S \cdot y_0 - s \cdot y_1}{S - s} \] где \( x_0 = 0, y_0 = 0 \) — координаты центра большого диска. 4. Подставим значения для \( X_c \): \[ X_c = \frac{0,25\pi \cdot 0 - 0,01\pi \cdot (-0,25)}{0,25\pi - 0,01\pi} \] \[ X_c = \frac{0,0025\pi}{0,24\pi} = \frac{0,0025}{0,24} = \frac{25}{2400} = \frac{1}{96} \approx 0,0104 \text{ м} \] 5. Так как координаты центра отверстия по осям \( x \) и \( y \) одинаковы, то: \[ Y_c = X_c \approx 0,0104 \text{ м} \] Ответ: Координаты центра тяжести диска \( X_c \approx 0,0104 \) м, \( Y_c \approx 0,0104 \) м.