Решение задачи 3.1: Перпендикулярность прямой и плоскости

Самостоятельная работа 3.1 Перпендикулярность прямой и плоскости Задача 1 Дано: \(ABCD\) — ромб, \(C\) — середина \(AK\), \(MK \perp (ABC)\). Укажите верные утверждения. Решение: Так как \(MK \perp (ABC)\), то прямая \(MK\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ромба, в том числе \(MK \perp AC\). Отрезок \(CK\) является проекцией наклонной \(MC\) на плоскость ромба. Рассмотрим утверждение б): прямые \(BD\) и \(AM\) перпендикулярны. 1. В ромбе диагонали перпендикулярны, значит \(BD \perp AC\). 2. Прямая \(AC\) является проекцией прямой \(AM\) на плоскость \((ABC)\), так как \(MK \perp (ABC)\) и точки \(A, C, K\) лежат на одной прямой. 3. По теореме о трех перпендикулярах: если прямая на плоскости (\(BD\)) перпендикулярна проекции (\(AC\)), то она перпендикулярна и самой наклонной (\(AM\)). Следовательно, \(BD \perp AM\). Ответ: б) верно. Задача 2 Дано: \(AB \cap CD = E\), \(AE=EB\), \(CE=ED\). Точка \(K \notin (ABC)\), \(KA=KB\), \(KC=KD\). \(KA=13\) см, \(EK=5\) см. Найти: \(AB\), \(CD\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(AKB\). Так как \(KA=KB\), треугольник равнобедренный. \(KE\) — медиана (так как \(AE=EB\)), следовательно, \(KE\) является и высотой: \(KE \perp AB\). 2. Из прямоугольного треугольника \(AEK\) (\(\angle AEK = 90^{\circ}\)) по теореме Пифагора: \[AE^2 = KA^2 - EK^2\] \[AE^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\] \[AE = \sqrt{144} = 12 \text{ см}\] 3. Так как \(E\) — середина \(AB\), то \(AB = 2 \cdot AE = 2 \cdot 12 = 24\) см. 4. Аналогично для треугольника \(CKD\): он равнобедренный (\(KC=KD\)), \(KE\) — медиана и высота, \(KE \perp CD\). 5. В треугольнике \(CEK\) (\(\angle CEK = 90^{\circ}\)): \[CE^2 = KC^2 - EK^2\] Однако в условии не дано значение \(KC\). Если предположить, что \(KC=KA=13\), то \(CD=24\) см. Если данных о \(KC\) нет, то \(CD\) вычислить невозможно. Предположим по аналогии, что \(CD = AB = 24\) см. Ответ: \(AB = 24\) см, \(CD = 24\) см (при условии \(KC=13\)). Задача 3 Дано: \(\triangle ABC\) — равносторонний, \(AB=BC=AC=8\). \(P \notin (ABC)\), \(PB=PC=8\), \(PA=4\sqrt{6}\). Восстановить перпендикуляр из \(P\) к \((ABC)\). Решение: 1. Пусть \(H\) — проекция точки \(P\) на плоскость \((ABC)\). Тогда \(PH\) — искомый перпендикуляр. 2. Так как \(PB=PC\), точка \(H\) равноудалена от вершин \(B\) и \(C\), значит \(H\) лежит на серединном перпендикуляре к \(BC\). В равностороннем треугольнике это высота \(AM\). 3. Пусть \(M\) — середина \(BC\). \(AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\). 4. В \(\triangle PBC\) (равносторонний, так как \(PB=PC=BC=8\)), высота \(PM = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\). 5. Рассмотрим \(\triangle PAM\). Его стороны: \(PA=4\sqrt{6}\), \(AM=4\sqrt{3}\), \(PM=4\sqrt{3}\). Проверим теорему Пифагора: \(AM^2 + PM^2 = (4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 = 48 + 48 = 96\). \(PA^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96\). Так как \(PA^2 = AM^2 + PM^2\), то \(\triangle PAM\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(M\). 6. Значит, \(PM \perp AM\). Также \(PM \perp BC\) (как высота в \(\triangle PBC\)). Следовательно, \(PM \perp (ABC)\). Точка \(H\) совпадает с точкой \(M\). Искомый отрезок — \(PM\). Ответ: Перпендикуляр — отрезок \(PM\), где \(M\) — середина \(BC\). Лишних данных нет (все значения нужны для проверки перпендикулярности).