Решение задачи 8: Цилиндр. Площадь боковой поверхности

Задача 8. Дано: Цилиндр. \( S_{осн} = 9\pi \) — площадь основания. Диаметр нижнего основания виден из центра верхнего основания под углом \( 90^\circ \). Найти: \( \frac{S_{бок}}{\pi} \) — площадь боковой поверхности, делённую на \( \pi \). Решение: 1. Найдем радиус основания цилиндра \( R \). Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S_{осн} = \pi R^2 \] По условию \( \pi R^2 = 9\pi \), следовательно: \[ R^2 = 9 \implies R = 3 \] 2. Рассмотрим треугольник, образованный центром верхнего основания (точка \( O_1 \)) и концами диаметра нижнего основания (точки \( A \) и \( B \)). Этот треугольник \( A O_1 B \) является равнобедренным, так как \( O_1 A = O_1 B \) (наклонные, проекции которых равны). По условию угол при вершине \( \angle A O_1 B = 90^\circ \). Высота этого треугольника, опущенная из \( O_1 \) на диаметр \( AB \), является высотой цилиндра \( H \). В прямоугольном равнобедренном треугольнике медиана (она же высота \( H \)), проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Гипотенуза — это диаметр основания \( D = 2R = 2 \cdot 3 = 6 \). Значит: \[ H = \frac{D}{2} = R = 3 \] 3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Формула площади боковой поверхности: \[ S_{бок} = 2\pi R H \] Подставим значения \( R = 3 \) и \( H = 3 \): \[ S_{бок} = 2\pi \cdot 3 \cdot 3 = 18\pi \] 4. В ответе необходимо указать площадь, делённую на \( \pi \): \[ \frac{S_{бок}}{\pi} = \frac{18\pi}{\pi} = 18 \] Ответ: 18