Решение задачи №5.3: Расчет температуры торможения на кромке крыла

Задача №5.3 Дано: \( M = 2,2 \) \( H_1 = 16 \text{ км} \) \( H_2 = 5 \text{ км} \) \( k = 1,4 \) Найти: \( T^*_1, T^*_2 \) — температуру торможения на кромке крыла. Решение: 1. Согласно ГОСТ 4401-81 «Атмосфера стандартная», определим статическую температуру воздуха \( T \) на заданных высотах: Для \( H_1 = 16 \text{ км} \): \( T_1 = 216,65 \text{ К} \) (стратосфера, температура постоянна в этом слое). Для \( H_2 = 5 \text{ км} \): \( T_2 = 255,65 \text{ К} \). 2. Температура на кромке крыла самолета соответствует температуре заторможенного потока \( T^* \). Связь между статической температурой \( T \) и температурой торможения \( T^* \) выражается через число Маха \( M \): \[ T^* = T \cdot \left( 1 + \frac{k-1}{2} \cdot M^2 \right) \] 3. По условию задачи расчет необходимо выполнить с использованием безразмерной скорости \( \lambda \). Связь между \( M \) и \( \lambda \) определяется формулой: \[ \lambda^2 = \frac{\frac{k+1}{2} \cdot M^2}{1 + \frac{k-1}{2} \cdot M^2} \] Вычислим значение \( \lambda^2 \) для \( M = 2,2 \): \[ \lambda^2 = \frac{\frac{1,4+1}{2} \cdot 2,2^2}{1 + \frac{1,4-1}{2} \cdot 2,2^2} = \frac{1,2 \cdot 4,84}{1 + 0,2 \cdot 4,84} = \frac{5,808}{1,968} \approx 2,9512 \] \[ \lambda \approx 1,718 \] 4. Температура торможения через \( \lambda \) выражается формулой: \[ T^* = \frac{T}{1 - \frac{k-1}{k+1} \cdot \lambda^2} \] Подставим значения для каждой высоты: Для \( H_1 = 16 \text{ км} \): \[ T^*_1 = \frac{216,65}{1 - \frac{0,4}{2,4} \cdot 2,9512} = \frac{216,65}{1 - \frac{1}{6} \cdot 2,9512} = \frac{216,65}{1 - 0,49187} = \frac{216,65}{0,50813} \approx 426,37 \text{ К} \] Переведем в градусы Цельсия: \[ t^*_1 = 426,37 - 273,15 = 153,22 ^\circ\text{C} \] Для \( H_2 = 5 \text{ км} \): \[ T^*_2 = \frac{255,65}{1 - \frac{1}{6} \cdot 2,9512} = \frac{255,65}{0,50813} \approx 503,12 \text{ К} \] Переведем в градусы Цельсия: \[ t^*_2 = 503,12 - 273,15 = 229,97 ^\circ\text{C} \] Ответ: на высоте 16 км температура на кромке составит \( 426,37 \text{ К} \) (\( 153,22 ^\circ\text{C} \)), на высоте 5 км — \( 503,12 \text{ К} \) (\( 229,97 ^\circ\text{C} \)).