schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Решение задач по геометрии: квадрат и перпендикуляр
help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
На этой странице представлено подробное решение задачи по геометрии, включающей квадрат и перпендикуляр. Решение содержит необходимые пояснения и подходит для использования в школьной тетради.
Подробное решение
Ниже представлено решение задач в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь.
Задача №3
Дано:
\(ABCD\) — квадрат;
\(BF \perp (ABC)\);
\(BF = 8\) см;
\(BC = 4\) см.
Найти: \(FC\).
Решение:
1. Так как прямая \(BF\) перпендикулярна плоскости квадрата \((ABC)\), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку \(B\). Следовательно, \(BF \perp BC\).
2. Рассмотрим треугольник \(FBC\). Так как \(BF \perp BC\), то треугольник \(FBC\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(B\).
3. По теореме Пифагора для треугольника \(FBC\):
\[FC^2 = BF^2 + BC^2\]
4. Подставим известные значения:
\[FC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\]
\[FC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \text{ (см)}\]
Ответ: \(4\sqrt{5}\) см.
Задача №4
Дано:
\(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AB = AC = 5\), \(BC = 6\));
\(AD \perp (ABC)\);
\(AD = 12\);
\(AE\) — высота \(\triangle ABC\).
Найти: \(AE, DE, BD, DC\).
Решение:
1. Найдем \(AE\). В равнобедренном треугольнике \(ABC\) высота \(AE\), проведенная к основанию \(BC\), также является медианой. Значит, \(BE = EC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
Из прямоугольного треугольника \(ABE\) по теореме Пифагора:
\[AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\]
2. Найдем \(DE\). Так как \(AD \perp (ABC)\), то \(AD \perp AE\). Треугольник \(ADE\) — прямоугольный. По теореме Пифагора:
\[DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\]
3. Найдем \(BD\). Так как \(AD \perp (ABC)\), то \(AD \perp AB\). Треугольник \(ADB\) — прямоугольный. По теореме Пифагора:
\[BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\]
4. Найдем \(DC\). Так как \(AD \perp (ABC)\), то \(AD \perp AC\). Треугольник \(ADC\) — прямоугольный. По теореме Пифагора:
\[DC = \sqrt{AD^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\]
(Заметим, что \(BD = DC\), так как наклонные проведены из одной точки к равным отрезкам \(AB\) и \(AC\)).
Ответ: \(AE = 4\); \(DE = 4\sqrt{10}\); \(BD = 13\); \(DC = 13\).