Решение системы уравнений (5x+3)^2 = 8y, (3x+5)^2 = 8y

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} (5x + 3)^2 = 8y \\ (3x + 5)^2 = 8y \end{cases} \] Так как правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части: \[ (5x + 3)^2 = (3x + 5)^2 \] Перенесем всё в одну сторону, чтобы воспользоваться формулой разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (5x + 3)^2 - (3x + 5)^2 = 0 \] \[ ((5x + 3) - (3x + 5)) \cdot ((5x + 3) + (3x + 5)) = 0 \] Упростим выражения в скобках: \[ (5x + 3 - 3x - 5) \cdot (5x + 3 + 3x + 5) = 0 \] \[ (2x - 2) \cdot (8x + 8) = 0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: 1) \( 2x - 2 = 0 \) \[ 2x = 2 \] \[ x_1 = 1 \] 2) \( 8x + 8 = 0 \) \[ 8x = -8 \] \[ x_2 = -1 \] Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \), подставив их в первое уравнение системы \( 8y = (5x + 3)^2 \): Для \( x_1 = 1 \): \[ 8y = (5 \cdot 1 + 3)^2 \] \[ 8y = 8^2 \] \[ 8y = 64 \] \[ y_1 = 8 \] Для \( x_2 = -1 \): \[ 8y = (5 \cdot (-1) + 3)^2 \] \[ 8y = (-5 + 3)^2 \] \[ 8y = (-2)^2 \] \[ 8y = 4 \] \[ y_2 = \frac{4}{8} = 0,5 \] Ответ: \( (1; 8) \), \( (-1; 0,5) \).