Задача №1123: Решение равнобедренной трапеции

Задача №1123 Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CD\)). \(BC\) — меньшее основание, \(AD\) — большешее основание. По условию: \(BC = AB = CD\). \(AD = 10\) см. \(\angle A = \angle D = 70^\circ\). Найти: \(P_{ABCD}\) (периметр трапеции). Решение: 1. Проведем высоты \(BH\) и \(CK\) из вершин верхнего основания к нижнему основанию \(AD\). Так как трапеция равнобедренная, то отрезок \(HK = BC\), а отрезки \(AH = KD\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\) (\(\angle H = 90^\circ\)). По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \[ \cos A = \frac{AH}{AB} \] Отсюда выразим \(AH\): \[ AH = AB \cdot \cos 70^\circ \] 3. Так как \(AD = AH + HK + KD\) и \(HK = BC\), \(KD = AH\), то: \[ AD = 2 \cdot AH + BC \] Подставим выражение для \(AH\) и учтем, что по условию \(BC = AB\): \[ AD = 2 \cdot AB \cdot \cos 70^\circ + AB \] 4. Вынесем \(AB\) за скобки: \[ AD = AB \cdot (2 \cdot \cos 70^\circ + 1) \] Отсюда найдем боковую сторону \(AB\): \[ AB = \frac{AD}{2 \cdot \cos 70^\circ + 1} \] Подставим значение \(AD = 10\) см и приближенное значение \(\cos 70^\circ \approx 0,342\): \[ AB = \frac{10}{2 \cdot 0,342 + 1} = \frac{10}{0,684 + 1} = \frac{10}{1,684} \approx 5,94 \text{ см} \] 5. Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон. Так как \(AB = CD = BC\), то: \[ P = AB + BC + CD + AD = 3 \cdot AB + AD \] Подставим найденное значение \(AB\): \[ P \approx 3 \cdot 5,94 + 10 = 17,82 + 10 = 27,82 \text{ см} \] Ответ: \(P \approx 27,82\) см.