Решение задачи: Определение угла поворота консольной балки

Для решения задачи воспользуемся методом начальных параметров или методом Мора. Нам нужно найти угол поворота \(\theta_A\) в точке \(A\). Балка представляет собой консоль, жестко защемленную с правого конца. 1. Переведем исходные данные в систему СИ: \(L = 0,5\) м; \(L_1 = 1,9 \cdot 0,5 = 0,95\) м; \(L_2 = 1,9 \cdot 0,5 = 0,95\) м; \(P = 2000\) Н; \(F_1 = 2,4 \cdot 2000 = 4800\) Н; \(F_2 = -7,9 \cdot 2000 = -15800\) Н (направлена вниз); \(M = 1,1 \cdot 2000 \cdot 0,5 = 1100\) Н\(\cdot\)м; \(I_x = 198 \cdot 10^{-8}\) м\(^4\); \(E = 209 \cdot 10^9\) Па. 2. Вычислим жесткость балки: \[ EI = 209 \cdot 10^9 \cdot 198 \cdot 10^{-8} = 413820 \text{ Н}\cdot\text{м}^2 \] 3. Угол поворота в точке \(A\) равен интегралу от эпюры моментов на участке от заделки до точки \(A\). Проще всего использовать метод Мора, приложив в точке \(A\) единичный момент \(\bar{M}=1\). Координату \(x\) будем отсчитывать от заделки влево. Точка \(A\) находится на расстоянии \(x_A = L_1 + L_2 = 1,9\) м от заделки. Единичное состояние: \(\bar{M}(x) = 1\) на всем участке от заделки до \(A\). Грузовое состояние (моменты от внешних сил относительно текущего сечения \(x\)): На участке \(L_2\) (от \(0\) до \(0,95\) м): \[ M_p(x) = M + F_2 \cdot (x - L_2) \text{ - нет, сила } F_2 \text{ и } F_1 \text{ действуют левее.} \] Правильнее считать от свободного конца (слева направо), но тогда нужно сначала найти реакции в заделке. Найдем угол поворота как сумму вкладов от каждой силы, используя формулы для консоли: Угол поворота в точке \(A\) от силы \(F_1\) (на конце): \[ \theta_{A1} = \frac{F_1 (L+L_1+L_2)^2}{2EI} - \frac{F_1 L^2}{2EI} \text{ (сложно)} \] Применим метод Мора. Угол поворота в точке \(A\): \[ \theta_A = \frac{1}{EI} \int M_p(x) \bar{M}(x) dx \] Где \(\bar{M}(x) = 1\) на участке от заделки до точки \(A\). Момент в заделке (отсчет \(x\) от заделки): \[ M_{зад} = F_1(L+L_1+L_2) + F_2(L_1+L_2) + M \] \[ M_{зад} = 4800(0,5+0,95+0,95) - 15800(0,95+0,95) + 1100 = 11520 - 30020 + 1100 = -17400 \text{ Н}\cdot\text{м} \] Реакция \(R_{зад} = -(F_1 + F_2) = -(4800 - 15800) = 11000\) Н. Уравнение моментов от заделки до \(A\) (\(x\) от \(0\) до \(L_2+L_1 = 1,9\) м): На участке \(x \in [0; 0,95]\): \(M_p(x) = M_{зад} + R_{зад}x\) На участке \(x \in [0,95; 1,9]\): \(M_p(x) = M_{зад} + R_{зад}x - M\) Интегрируем: \[ \theta_A = \frac{1}{EI} \left( \int_{0}^{0,95} (M_{зад} + R_{зад}x) dx + \int_{0,95}^{1,9} (M_{зад} + R_{зад}x - 1100) dx \right) \] \[ \int_{0}^{1,9} (-17400 + 11000x) dx = [-17400x + 5500x^2]_0^{1,9} = -33060 + 19855 = -13205 \] Вычтем влияние момента \(M\) на втором участке: \(-1100 \cdot 0,95 = -1045\). Итого: \(\theta_A = \frac{-13205 - 1045}{413820} = \frac{-14250}{413820} \approx -0,034435\) рад. 4. Переведем в градусы: \[ \alpha = \theta_A \cdot \frac{180}{\pi} = -0,034435 \cdot 57,2958 \approx -1,973^\circ \] Так как в условии сказано, что положительный угол — против часовой стрелки, а наш расчет (с единичным моментом против часовой) дал минус, значит поворот по часовой стрелке. Ответ: -1,97 (или 1,97 в зависимости от знака в системе)