Решение задачи по строительной механике: Определение грузового перемещения

Задача по строительной механике: определение грузового перемещения в методе сил. Дано: Балка длиной \(2l\) на двух опорах с приложенным сосредоточенным моментом \(M\) посередине. Эквивалентная система получена путем введения лишней неизвестной силы \(X_1\) в середине пролета. Требуется найти коэффициент канонического уравнения \(\Delta_{1P}\). Решение: 1. Построим эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки \(M\) в основной системе (балка на двух опорах). Реакции опор от момента \(M\), приложенного в середине: \[R_A = \frac{M}{2l} \text{ (вниз)}, \quad R_B = \frac{M}{2l} \text{ (вверх)}\] Эпюра \(M_P\) представляет собой два треугольника. В точке приложения момента скачок. Значение момента слева от середины: \[M_P^{лев} = -R_A \cdot l = -\frac{M}{2l} \cdot l = -\frac{M}{2}\] Значение момента справа от середины: \[M_P^{прав} = R_B \cdot l = \frac{M}{2l} \cdot l = \frac{M}{2}\] 2. Построим эпюру от единичной силы \(\bar{X}_1 = 1\), приложенной в середине пролета. Это стандартная эпюра для балки на двух опорах с силой посередине. Максимальный момент под силой: \[\bar{M}_1 = \frac{1 \cdot (2l)}{4} = \frac{l}{2}\] Эпюра имеет вид симметричного треугольника с вершиной в центре. 3. Вычислим грузовое перемещение \(\Delta_{1P}\) по формуле Мора (перемножение эпюр): \[\Delta_{1P} = \int \frac{\bar{M}_1 M_P}{EI_x} dx\] Так как эпюра \(M_P\) антисимметрична относительно центра, а эпюра \(\bar{M}_1\) симметрична, их произведение на левой половине пролета будет равно по модулю и противоположно по знаку произведению на правой половине. Математически: На левом участке (\(0 \le x \le l\)): \(\bar{M}_1(x) = \frac{1}{2}x\), \(M_P(x) = -\frac{M}{2l}x\). На правом участке (\(l \le x \le 2l\)): \(\bar{M}_1(x)\) и \(M_P(x)\) имеют такие же значения, но с учетом знаков и симметрии интеграл по всей длине даст ноль. Следовательно: \[\Delta_{1P} = 0\] Ответ: \[\Delta_{1P} = 0\]