Решение задачи по сопротивлению материалов методом сил

Решение задачи по сопротивлению материалов (метод сил). Дана эквивалентная система балки на двух опорах с приложенной силой \(X_1\) в середине пролета и сосредоточенным моментом \(M\) на правой опоре. Общая длина балки \(2l\). 1. Построение эпюры моментов от единичной силы \( \bar{M}_1 \) (когда \(X_1 = 1\)): Сила \(X_1 = 1\) приложена в середине балки длиной \(2l\). Реакции опор будут равны \(1/2\). Максимальный момент в центре балки: \[ \bar{M}_1 = \frac{1 \cdot 2l}{4} = \frac{l}{2} \] Эпюра имеет вид треугольника с вершиной \(l/2\) посередине. 2. Построение эпюры моментов от внешней нагрузки \( M_P \) (от момента \(M\)): Момент \(M\) приложен на правой опоре. Эпюра моментов от него представляет собой треугольник, который равен \(0\) на левой опоре и \(M\) на правой опоре. Значение в середине балки (под силой \(X_1\)) равно \(M/2\). 3. Вычисление коэффициентов канонического уравнения по способу Верещагина: Коэффициент \( \delta_{11} \) (перемножение эпюры \( \bar{M}_1 \) саму на себя): \[ \delta_{11} = \frac{1}{EI} \cdot \left( 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{l}{2} \cdot \frac{2}{3} \frac{l}{2} \right) = \frac{l^3}{6EI} \] Коэффициент \( \Delta_{1P} \) (перемножение эпюры \( \bar{M}_1 \) на эпюру \( M_P \)): Разобьем эпюру \( \bar{M}_1 \) на два треугольных участка по длине \(l\). На первом участке (левом): \( \omega_1 = \frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{l}{2} = \frac{l^2}{4} \), ордината под центром тяжести на эпюре \( M_P \) равна \( \frac{2}{3} \cdot \frac{M}{2} = \frac{M}{3} \). На втором участке (правом): \( \omega_2 = \frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{l}{2} = \frac{l^2}{4} \), ордината под центром тяжести на эпюре \( M_P \) равна \( \frac{M}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{M}{2} = \frac{2M}{3} \). \[ \Delta_{1P} = \frac{1}{EI} \left( \frac{l^2}{4} \cdot \frac{M}{3} + \frac{l^2}{4} \cdot \frac{2M}{3} \right) = \frac{1}{EI} \left( \frac{Ml^2}{12} + \frac{2Ml^2}{12} \right) = \frac{3Ml^2}{12EI} = \frac{Ml^2}{4EI} \] 4. Решение канонического уравнения: \[ \delta_{11} X_1 + \Delta_{1P} = 0 \] \[ \frac{l^3}{6EI} X_1 + \frac{Ml^2}{4EI} = 0 \] \[ \frac{l}{6} X_1 = - \frac{M}{4} \] \[ X_1 = - \frac{6M}{4l} = - \frac{3}{2} \frac{M}{l} \] Так как в вариантах ответов приведены модули значений (направление \(X_1\) на схеме уже задано), выбираем подходящее по величине значение. Правильный ответ: \[ \frac{3}{2} \frac{M}{l} \]