Минимальный радиус инерции прямоугольного сечения: решение задачи

Решение задачи по строительной механике. Дано: Прямоугольное сечение с размерами \( b = 3 \) см и \( h = 4 \) см. Найти: Минимальный радиус инерции \( i_{min} \). 1. Формула радиуса инерции сечения: Радиус инерции определяется через момент инерции \( I \) и площадь сечения \( A \) по формуле: \[ i = \sqrt{\frac{I}{A}} \] 2. Для прямоугольного сечения: Площадь сечения: \[ A = b \cdot h \] Минимальный момент инерции (относительно оси, параллельной большей стороне): \[ I_{min} = \frac{h \cdot b^3}{12} \] 3. Подставим выражения в формулу радиуса инерции: \[ i_{min} = \sqrt{\frac{\frac{h \cdot b^3}{12}}{b \cdot h}} = \sqrt{\frac{b^2}{12}} = \frac{b}{\sqrt{12}} \] Или упрощенно для прямоугольника: \( i_{min} \approx 0,289 \cdot b \), где \( b \) — меньшая сторона. 4. Выполним расчет для заданных размеров (\( b = 3 \), \( h = 4 \)): \[ i_{min} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Зная, что \( \sqrt{3} \approx 1,732 \): \[ i_{min} \approx \frac{1,732}{2} = 0,866 \text{ см} \] Ответ: 0,866 см.