Решение задачи: Монтажные усилия в стержне с зазором

Решение задачи по расчету монтажных усилий в стержне. Дано: Составной стержень закреплен между двумя жесткими опорами. Первый участок: длина \( l \), площадь сечения \( S \). Второй участок: длина \( 3l \), площадь сечения \( 2S \). Монтажный зазор: \( \delta \). Модуль упругости материала: \( E \). 1. Условие совместности деформаций: Чтобы ликвидировать зазор \( \delta \) при сборке, стержни должны растянуться. Суммарное удлинение обоих участков под действием возникшего внутреннего растягивающего усилия \( N \) должно быть равно величине зазора: \[ \Delta l_1 + \Delta l_2 = \delta \] 2. Применяем закон Гука для каждого участка: Удлинение первого участка: \[ \Delta l_1 = \frac{N \cdot l}{E \cdot S} \] Удлинение второго участка: \[ \Delta l_2 = \frac{N \cdot 3l}{E \cdot 2S} = \frac{1,5 \cdot N \cdot l}{E \cdot S} \] 3. Подставляем выражения в уравнение совместности деформаций: \[ \frac{N \cdot l}{E \cdot S} + \frac{1,5 \cdot N \cdot l}{E \cdot S} = \delta \] \[ \frac{N \cdot l}{E \cdot S} \cdot (1 + 1,5) = \delta \] \[ 2,5 \cdot \frac{N \cdot l}{E \cdot S} = \delta \] 4. Выражаем растягивающее усилие \( N \): \[ N = \frac{\delta \cdot E \cdot S}{2,5 \cdot l} \] Представим коэффициент \( 2,5 \) как дробь \( 5/2 \): \[ N = \frac{2}{5} \frac{E S \delta}{l} = 0,4 \frac{E S \delta}{l} \] В зависимости от того, какие варианты ответов предложены в тесте (на фото они обрезаны), правильным будет значение: \[ 0,4 \frac{E S \delta}{l} \] или \[ \frac{2 E S \delta}{5 l} \]