Решение задачи по сопромату: определение критической силы стержня

Задача по сопротивлению материалов: Определение критической силы для стержня. Дано: Диаметр сечения: \( d = 4 \) см \( = 40 \) мм. Длина стержня: \( l = 50 \) см \( = 500 \) мм. Предел текучести: \( \sigma_{т} = 210 \) МПа. Модуль упругости: \( E = 2 \times 10^{5} \) МПа. Схема закрепления: один конец жестко защемлен, другой имеет направляющую (скользящую заделку). Для такой схемы коэффициент приведения длины \( \mu = 0,5 \). Решение: 1. Вычислим геометрические характеристики сечения. Площадь поперечного сечения: \[ A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{3,14 \times 40^{2}}{4} = 1256 \text{ мм}^{2} \] Осевой момент инерции: \[ I = \frac{\pi d^{4}}{64} = \frac{3,14 \times 40^{4}}{64} = 125600 \text{ мм}^{4} \] Минимальный радиус инерции: \[ i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{125600}{1256}} = 10 \text{ мм} \] 2. Определим гибкость стержня: \[ \lambda = \frac{\mu \times l}{i} = \frac{0,5 \times 500}{10} = 25 \] 3. Проверим применимость формулы Эйлера. Предельная гибкость для малоуглеродистой стали: \[ \lambda_{пред} = \pi \sqrt{\frac{E}{\sigma_{пц}}} \] Обычно для стали \( \lambda_{пред} \approx 100 \). Так как наша гибкость \( \lambda = 25 \) значительно меньше предельной, формула Эйлера неприменима. Стержень малой гибкости рассчитывается по формуле Ясинского или проверяется на простое сжатие. Для очень жестких стержней (\( \lambda < 40 \)) критическое напряжение принимается равным пределу текучести: \[ \sigma_{кр} = \sigma_{т} = 210 \text{ МПа} \] 4. Вычислим критическую силу: \[ P_{кр} = \sigma_{кр} \times A = 210 \times 1256 = 263760 \text{ Н} \] Переведем в килоньютоны: \[ P_{кр} \approx 264 \text{ кН} \] Ответ: 264 кН.