Решение задачи: Изменение условий закрепления стойки

Задача по строительной механике: Изменение условий закрепления стойки. Дано: Начальная критическая сила: \( P_{кр1} = 50 \) кН. Начальное закрепление: нижний конец защемлен, верхний — свободный. Требуемая критическая сила: \( P_{кр2} = 200 \) кН. Решение: 1. Запишем формулу Эйлера для критической силы: \[ P_{кр} = \frac{\pi^{2} E I}{(\mu l)^{2}} \] Из формулы видно, что критическая сила обратно пропорциональна квадрату коэффициента приведения длины \( \mu \): \[ P_{кр} \sim \frac{1}{\mu^{2}} \] 2. Определим коэффициент \( \mu_{1} \) для исходного состояния. Для стойки, защемленной одним концом и свободной на другом (консоль): \[ \mu_{1} = 2 \] 3. Найдем, во сколько раз должна увеличиться критическая сила: \[ n = \frac{P_{кр2}}{P_{кр1}} = \frac{200}{50} = 4 \] 4. Определим, каким должен быть новый коэффициент \( \mu_{2} \). Так как \( P_{кр} \) зависит от \( \frac{1}{\mu^{2}} \), то: \[ \frac{P_{кр2}}{P_{кр1}} = \left( \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}} \right)^{2} \] \[ 4 = \left( \frac{2}{\mu_{2}} \right)^{2} \] Извлечем корень из обеих частей: \[ 2 = \frac{2}{\mu_{2}} \implies \mu_{2} = 1 \] 5. Проанализируем варианты закрепления для \( \mu = 1 \): - \( \mu = 2 \): один конец защемлен, другой свободен. - \( \mu = 1 \): оба конца закреплены шарнирно. - \( \mu = 0,7 \): один конец защемлен, другой шарнирно оперт. - \( \mu = 0,5 \): оба конца защемлены. Следовательно, чтобы получить \( \mu = 1 \), необходимо оба конца стойки закрепить шарнирно. В терминах предложенных ответов это соответствует закреплению нижнего конца с помощью неподвижного шарнира, а верхнего — с помощью подвижного шарнира. Правильный ответ: нижний конец стойки закрепить с помощью неподвижного шарнира, а верхний — с помощью подвижного шарнира.