График функции f(x) = -2x^2 + 8x - 10: Решение

Давай построим график функции \(f(x) = -2x^2 + 8x - 10\). Для построения параболы нам нужно найти координаты её вершины и несколько дополнительных точек. 1. Найдем координаты вершины параболы. Для квадратичной функции вида \(ax^2 + bx + c\) координаты вершины \((x_в; y_в)\) можно найти по формулам: \[x_в = -\frac{b}{2a}\] \[y_в = f(x_в)\] В нашем случае \(a = -2\), \(b = 8\), \(c = -10\). Вычислим \(x_в\): \[x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2\] Теперь вычислим \(y_в\), подставив \(x_в = 2\) в функцию: \[y_в = f(2) = -2 \cdot (2)^2 + 8 \cdot 2 - 10\] \[y_в = -2 \cdot 4 + 16 - 10\] \[y_в = -8 + 16 - 10\] \[y_в = 8 - 10\] \[y_в = -2\] Итак, координаты вершины параболы: \((2; -2)\). 2. Проверим утверждение 1: "Уравнение \(-2x^2 + 8x - 10 = 0\) не имеет корней." Для этого найдем дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[D = b^2 - 4ac\] Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней. В нашем случае \(a = -2\), \(b = 8\), \(c = -10\). \[D = 8^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-10)\] \[D = 64 - 80\] \[D = -16\] Так как \(D = -16 < 0\), то уравнение \(-2x^2 + 8x - 10 = 0\) действительно не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось X. 3. Построим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно вершины. Вершина находится в точке \((2; -2)\). Так как коэффициент \(a = -2\) отрицательный, ветви параболы направлены вниз. | \(x\) | \(f(x) = -2x^2 + 8x - 10\) | | :---: | :--------------------------: | | 0 | \(f(0) = -2(0)^2 + 8(0) - 10 = -10\) | | 1 | \(f(1) = -2(1)^2 + 8(1) - 10 = -2 + 8 - 10 = -4\) | | 2 | \(f(2) = -2\) (вершина) | | 3 | \(f(3) = -2(3)^2 + 8(3) - 10 = -2(9) + 24 - 10 = -18 + 24 - 10 = -4\) | | 4 | \(f(4) = -2(4)^2 + 8(4) - 10 = -2(16) + 32 - 10 = -32 + 32 - 10 = -10\) | Полученные точки: \((0; -10)\), \((1; -4)\), \((2; -2)\), \((3; -4)\), \((4; -10)\). 4. Отметим вершину параболы на координатной плоскости. Вершина находится в точке \((2; -2)\). На графике это будет точка, где \(x=2\) и \(y=-2\). 5. Отметим остальные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, чтобы получить параболу. * \((0; -10)\) * \((1; -4)\) * \((3; -4)\) * \((4; -10)\) На предоставленном графике ось Y доходит только до -5, поэтому точки \((0; -10)\) и \((4; -10)\) не будут видны полностью. Мы можем отметить только те точки, которые попадают в видимую область. Видимые точки: * Вершина: \((2; -2)\) * \((1; -4)\) * \((3; -4)\) Если бы график был больше, мы бы увидели и другие точки. Итог: 1. Утверждение "Уравнение \(-2x^2 + 8x - 10 = 0\) не имеет корней" верно, так как дискриминант \(D = -16 < 0\). 2. Вершина параболы находится в точке \((2; -2)\). Эту точку нужно отметить на координатной плоскости. 3. Для построения графика можно использовать точки \((1; -4)\) и \((3; -4)\), а также помнить, что ветви параболы направлены вниз.