Представление комплексного числа z = -1 - √3i в показательной форме

Задание: Представить комплексное число \( z = -1 - \sqrt{3} \cdot i \) в показательной форме. Решение: Показательная форма комплексного числа имеет вид: \[ z = r \cdot e^{i\varphi} \] где \( r \) — модуль комплексного числа, а \( \varphi \) — его аргумент. 1. Найдем модуль \( r \): Для числа \( z = a + bi \), где \( a = -1 \), \( b = -\sqrt{3} \): \[ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] 2. Найдем аргумент \( \varphi \): Определим четверть, в которой находится число. Так как \( a < 0 \) и \( b < 0 \), число находится в III координатной четверти. Для III четверти аргумент вычисляется по формуле: \[ \varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{b}{a}\right) - \pi \] Подставим значения: \[ \varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right) - \pi = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) - \pi \] Так как \( \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \), получаем: \[ \varphi = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \] 3. Запишем число в показательной форме: \[ z = 2 \cdot e^{-\frac{2\pi}{3}i} \] Ответ: Первый вариант \( z = 2e^{-\frac{2\pi}{3}i} \).