Решение уравнения z³ + i = 0: Найти все корни

Задание: Выберите все корни уравнения \( z^3 + i = 0 \). Решение: 1. Перенесем \( i \) в правую часть уравнения: \[ z^3 = -i \] 2. Представим число \( w = -i \) в тригонометрической форме. Модуль числа \( |w| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1 \). Аргумент числа \( \operatorname{arg}(w) = -\frac{\pi}{2} \) (так как число лежит на отрицательной мнимой полуоси). Тогда: \[ w = 1 \cdot \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) \] 3. Используем формулу Муавра для извлечения корня n-ой степени: \[ z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right), \text{ где } k = 0, 1, 2 \] В нашем случае \( n = 3 \), \( r = 1 \), \( \varphi = -\frac{\pi}{2} \). При \( k = 0 \): \[ z_0 = 1 \cdot \left( \cos\frac{-\pi/2}{3} + i \sin\frac{-\pi/2}{3} \right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i = \frac{1}{2}(\sqrt{3} - i) \] При \( k = 1 \): \[ z_1 = \cos\frac{-\pi/2 + 2\pi}{3} + i \sin\frac{-\pi/2 + 2\pi}{3} = \cos\frac{3\pi/2}{3} + i \sin\frac{3\pi/2}{3} = \cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2} = 0 + i = i \] При \( k = 2 \): \[ z_2 = \cos\frac{-\pi/2 + 4\pi}{3} + i \sin\frac{-\pi/2 + 4\pi}{3} = \cos\frac{7\pi/6}{3} \text{ (или } \frac{-\pi/2 - 2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{6} \text{)} \] \[ z_2 = \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i = -\frac{1}{2}(\sqrt{3} + i) \] 4. Сопоставим полученные результаты с вариантами ответов: - \( z = \frac{1}{2}(\sqrt{3} - i) \) (второй вариант) - \( z = i \) (третий вариант) - \( z = -\frac{1}{2}(\sqrt{3} + i) \) (четвертый вариант) Ответ: Нужно выбрать второй, третий и четвертый чекбоксы.