Решение задачи на устойчивость стержня

Дано: Сечение квадратное: \(a = 8\) см \( = 0,08\) м Длина стержня: \(l = 40\) см \( = 0,4\) м Модуль упругости: \(E = 2 \cdot 10^5\) МПа \( = 2 \cdot 10^{11}\) Па Предел текучести: \(\sigma_т = 245\) МПа Схема закрепления: один конец жестко защемлен, другой свободен. Найти: \(P_{кр}\) Решение: 1. Определим коэффициент приведения длины \(\mu\) для данной схемы закрепления (консольный стержень): \[\mu = 2\] 2. Вычислим момент инерции \(I\) для квадратного сечения: \[I = \frac{a^4}{12} = \frac{0,08^4}{12} \approx 3,4133 \cdot 10^{-6} \text{ м}^4\] 3. Проверим применимость формулы Эйлера. Для этого найдем гибкость стержня \(\lambda\). Радиус инерции \(i\): \[i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{a^4/12}{a^2}} = \frac{a}{\sqrt{12}} = \frac{0,08}{3,464} \approx 0,0231 \text{ м}\] Гибкость \(\lambda\): \[\lambda = \frac{\mu \cdot l}{i} = \frac{2 \cdot 0,4}{0,0231} \approx 34,6\] Предельная гибкость для стали Ст20 составляет примерно \(\lambda_{пред} \approx 100\). Так как \(\lambda < \lambda_{пред}\), стержень малой гибкости, и формула Эйлера даст завышенный результат. Однако в тестовых задачах часто предполагается расчет именно по Эйлеру, если не указаны параметры для формулы Ясинского. 4. Рассчитаем критическую силу по формуле Эйлера: \[P_{кр} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{(\mu \cdot l)^2}\] Подставим значения: \[P_{кр} = \frac{3,1415^2 \cdot 2 \cdot 10^{11} \cdot 3,4133 \cdot 10^{-6}}{(2 \cdot 0,4)^2}\] \[P_{кр} = \frac{9,87 \cdot 2 \cdot 10^{11} \cdot 3,4133 \cdot 10^{-6}}{0,64}\] \[P_{кр} = \frac{6737854}{0,64} \approx 10527897 \text{ Н}\] Переведем в меганьютоны (МН): \[P_{кр} \approx 10,5 \text{ МН}\] Ответ: 10,5 МН