Решение задачи: Найти точки в области |z + 2i| = 2

Задание: Укажите все точки, принадлежащие области, ограниченной линией \( |z + 2i| = 2 \). Решение: 1. Определим геометрический смысл уравнения \( |z + 2i| = 2 \). Уравнение вида \( |z - z_0| = R \) описывает окружность с центром в точке \( z_0 \) и радиусом \( R \). В нашем случае: \[ |z - (-2i)| = 2 \] Это окружность с центром в точке \( z_0 = -2i \) (координаты \( (0; -2) \)) и радиусом \( R = 2 \). Область, ограниченная этой линией, — это круг, включающий все точки \( z \), для которых выполняется условие: \[ |z + 2i| \le 2 \] 2. Проверим каждую точку из предложенных вариантов, подставив её в выражение \( |z + 2i| \) и сравнив результат с радиусом \( 2 \): - Точка \( z = 1 - 3i \): \[ |1 - 3i + 2i| = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1,41 \] \( 1,41 \le 2 \) — Точка принадлежит области. - Точка \( z = 2i \): \[ |2i + 2i| = |4i| = 4 \] \( 4 > 2 \) — Точка не принадлежит области. - Точка \( z = 1 - i \): \[ |1 - i + 2i| = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41 \] \( 1,41 \le 2 \) — Точка принадлежит области. - Точка \( z = -1,5 + i \): \[ |-1,5 + i + 2i| = |-1,5 + 3i| = \sqrt{(-1,5)^2 + 3^2} = \sqrt{2,25 + 9} = \sqrt{11,25} \approx 3,35 \] \( 3,35 > 2 \) — Точка не принадлежит области. - Точка \( z = -2 \): \[ |-2 + 2i| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2,82 \] \( 2,82 > 2 \) — Точка не принадлежит области. - Точка \( z = -1 + i \): \[ |-1 + i + 2i| = |-1 + 3i| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16 \] \( 3,16 > 2 \) — Точка не принадлежит области. Ответ: Верными являются варианты: 1. \( 1 - 3i \) 2. \( 1 - i \)