Найти главное значение логарифма ln(-1 + i)

Задание: Найти главное значение логарифма \( \ln(-1 + i) \). Решение: Главное значение комплексного логарифма вычисляется по формуле: \[ \ln z = \ln |z| + i \cdot \arg z \] где \( |z| \) — модуль числа, а \( \arg z \) — главное значение аргумента, лежащее в интервале \( (-\pi; \pi] \). 1. Найдем модуль числа \( z = -1 + i \): \[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Заметим, что \( \ln \sqrt{2} = \ln 2^{0,5} = 0,5 \ln 2 \). 2. Найдем главное значение аргумента \( \arg z \): Число \( z = -1 + i \) находится во II координатной четверти (так как действительная часть \( a = -1 < 0 \), а мнимая \( b = 1 > 0 \)). Для II четверти: \[ \arg z = \operatorname{arctg}\left(\frac{b}{a}\right) + \pi = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{-1}\right) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \] 3. Подставим полученные значения в формулу: \[ \ln(-1 + i) = 0,5 \ln 2 + i \cdot \frac{3\pi}{4} \] Сравним с вариантами ответов: Полученный результат соответствует второму варианту: \( 0,5 \ln 2 + \frac{3\pi}{4} \cdot i \). Ответ: Второй вариант \( 0,5 \ln 2 + \frac{3\pi}{4} \cdot i \).